中国古代数学有两大缺陷，一是自然数系列中没有零的概念，二是缺乏系统严密的纯几何学研究（即西学之欧几里得公理体系）。

中国人很早就发明了以十进位的计数系统，但同时也有以二，以五，以八或十六进位的系统并行。

在唐代以前，中国古代自然数计数始于1，计数的起始点是一而非零。

例如中国人计算人岁数的传统算法，至今仍是如此，第一年并不是从零开始，而是出生之日就算一岁。所以除夕出生的婴儿，大年初一就已经算（虚）两岁了。这种计“虚岁”的古老方法，现代人已很难理解，其实正是反映了早期整数无零观念的算法。

这种以一为开始数的计数方法，在“0”被发明之前曾经普遍存在，例如西方的罗马数字系统也始终没有0。

如果以数轴表示数，这种无0概念的计算方式，在数轴上，就是“以线段代替点”，即计数从线段1开始，而非以原点0为开始。这种意义的数轴上面没有0的概念。

罗马计数系统也没有0概念。以耶稣生年为开始年的公元纪年系统，乃东罗马人所创制，此系统没有公元0年，而“公元1年”的前一年，不是公元零年，而直接是“公元前之第一年”，即隔过0位而为负数1。

商代计算已经采用了十进位的位值制。商代的甲骨文中，发现有数字“六五十又九”，即数字六五九——659，以自右向左的书写表示进位，使用以十进位。

但是尽管如此，中国算术中却很长时期并没有零的符号或者以0作为数字的概念。这一点近人已从出土汉简中的算法得到确认。

在发明零符号以前，不便于进行笔算，古代计算只能以筹算。而筹算中遇到10的进位，则以空位表示以10的进位。例如在筹算中，609即表示为（六）（空位）（九）。这种空格是表示逢十进位而不是数字概念的0。

据李约瑟说，柬埔寨出土公元7世纪（683年）的碑文，碑文中使用“点”来表示“0”，这是世界数学史上零概念以符号形式的最早出现。

在中国，概念0的出现是在唐代，大约7世纪前后。唐开元年间，来华的天竺高僧瞿昙悉达在他编纂的《开元占经》一书中，出现了关于概念“0”的占位法。据《开元占经》“天竺九执历经”开篇即介绍天竺算字法的以0进位法说：

“算字法（样）：

一字口、二字口、三字口、四字口、五字口、六字口、七字口、八字口、九字口、点口”。

【附注：式中口是缺字，应为印度数字。】

何按，此所谓天竺的“算字法样”，实际即印度数字或阿拉伯数字表示之：

1、2、3、4、5、6、7、8、9、0

故《九执经》又云：

“右天竺算法，用上件九个字，乘除其字，皆一举礼而成。凡数至十，进入前位，每空位处，恒安一点，有间咸记，无由辄错，运算便眼，趁须先及历度。”

也就是说，凡逢十倍之进位，则在前一数位上以点为标记，例如：

六十60标记为六、，六百600标记为六、、，六千6000标记为六、、、等。

也就是说，在九执经的算法中，可以用“·”这个符号来明确地表示数字0的概念。

这是中国数学明确引入0为计数概念系统的初次记录。

九执历是来自西域的历法。《新唐书》云出自西域，但又说出自天竺，表明此天竺非恒河南印度而当为印度河地区的印度，即西域印度。

唐代瞿昙家族乃是出自西域印度的天文世家。广德二年（764年)，杨景风注不空所译之《宿矅经》时提到：“今有迦叶氏、瞿昙氏、拘摩罗氏等三家天竺历并掌在太史阁，然今之用，多用瞿昙氏历，与大术相参供奉耳。”可见瞿昙家族在天竺三家天文学中一枝独秀，影响久远。

自初唐以下，瞿昙罗和瞿昙悉达先后担任太史令，即官方天文机构的最高长官。瞿昙家庭在武则天、中宗、睿宗等数朝天文机构皆任高官。著名的唐代高僧、天文学家一行法师也是出自瞿昙悉达门下。

清华简《筮法》

关于九执历，《四库全书总目提要》考订云：

出《开元占经》。“唐瞿昙悉达撰。卷首标衔，悉达曾官太史监事。考《玉海》开元六年诏瞿昙悉达 译《九执历》，则悉达之为太史监，当在开元初。卷首又标奉敕撰，而奉敕与成书年月皆无可考，惟其中载历代历法止于唐《麟德历》，且云李淳风见行《麟德 历》。考唐一行以开元九年奉诏创《大衍历》，以开元十六年颁之，其时《麟德历》遂不行，此书仍云见行《麟德历》，知其成于开元十六年以前矣。”

又云：“其中卷一百四、一百五全载麟德、九执二历。《九执历》不载于《唐志》，他书亦不过标撮大旨。此书所载，全法具著，为近世推步家所不及窥。”

九执，其名诡异，自古未解。其实执者，值也，值日守时之意义。

《大日经疏》云：“诸执者，执有九种，即日、月、水、火、木、金、土七曜及罗睺、计都，合为九执。”

“民间又称九曜。罗睺是交会食神。计都正翻为旗，旗星谓彗星也。除此二执之外。其余七曜相次值日，其性类亦有善恶。”

[罗睺，梵语，阿修罗，暗障，隐秘者之义，食日月，主流星，相当于中国所言太阴，太岁。计都，即彗星。]

其源出西域之梵历，梵历多种在唐初年间已传入我国。《九执历》由太史监翟昙悉达在开元六年译出，传授于徒弟一行等人。

翟昙悉达云：

“臣等谨案，《九执历》法，梵天所造，五通仙人承习传授，肇自上古。”“臣等谨凭天旨，专精钻仰，凡在隐秘，咸得解通，今削除繁冗，开明法要，修仍旧贯，缉缀新经，备列算术。”

唐开元九年，由于麟德历（李淳风所制订）日食不验，皇帝命由僧一行禅师主持编制新历法，作大衍历。

一行参考九执历，采用了九执的某些算法及内容。但是唐书说，一行禅师做了很大的保留，并没有完全采纳九执历的方法。开元十五年，大衍历制成。十月，一行禅师病逝。

开元十七年，新历颁行。但是由于一行没有邀请翟昙悉达参与编制大衍历，因此引起他的不满：

“时善算瞿坛譔者，怨不得预改历事，二十一年，与（陈）玄景奏：“《大衍》写《九执历》，其术未尽。”、太子右司御率南宫说亦非之。

诏侍御史李麟、太史令桓执圭较灵台候簿，《大衍》十得七、八，《麟德》才三、四，九执一、二焉。乃罪（南宫）说等，而是否决。”

[陈玄景曾经参与大衍历制定。南宫说，曾经参与神龙历的制定。]

玄宗皇帝令人核验之，最后认为还是一行大衍历好。《新唐书》云：

“《九执历》者，出于西域。开元六年，诏太史监瞿坛悉达译之。断取近距，以开元二年二月朔为历 首。度法六十。月有二十九日，余七百三分日之三百七十三。历首有朔虚分百二十六。周天三百六十度，无余分。日去没分九百分度之十三。二月为时，六时为岁。 三十度为相，十二相而周天。望前曰白博义；望后曰黑博义。其算皆以字书，不用筹策。其术繁碎，或幸而中，不可以为法。名数诡异，初莫之辩也。陈玄景等持以 惑当时，谓一行写其术未尽，妄矣。”

但是九执历引入0的概念，圆周为360度的概念，以及运用三角函数的解析方法，这些都是来自西域数学的新概念，对唐宋以后的中国数学及天文历算影响颇深远。

作者/何新