一道高中题-求解等边三角形

已知等边三角形ABC内部有一个点P， 并且PA=8， PB=6， PC=10，求这个等边三角形的面积。

解：注意到一个现象，

说明把这三个线段聚在一起可以构成一个直角三角形。

因此做下面的辅助三角形ABP’，

点P’的形成是将三角形ACP绕着点A顺时针旋转60度形成的。

那么显然三角形APC全等于三角形AP’B,

这样的话AP=AP’, P’B=PC

由于∠P’AB ∠BAC=∠PAC ∠BAP=60°, 且有AP=AP’,

所以三角形AP’P是等边三角形， 因此P’P=AP=8,

在三角形P’PB中，P’B=PC=10, BP=6, P’P=8, 所以三角形P’PB是直角三角形。

设∠BP’P=α

根据正弦和余弦的定义：

sinα=6/10=3/5

cosα=8/10=4/5

那么角∠BP’A=α 60°

在三角形AP’B中，根据余弦定理：

所以等边三角形的面积为：

解法2：也可以利用高中的解析几何知识求解这个问题， 如图建立底边的中点为坐标原点，然后按照两点之间的距离公式列出三个方程， 求解， 但这种方法计算繁杂。