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3、正交定义:(α,β)=αTβ=βTα=a1b1 a2b2 … anbn=0
4、正交矩阵的定义:A为n阶矩阵,AAT=E A-1=AT ATA=E |A|=±1
(二)线性组合和线性表示
5、线性表示的充要条件:
非零列向量β可由α1,α2,…,αs线性表示
(1)非齐次线性方程组(α1,α2,…,αs)(x1,x2,…,xs)T=β有解。
(2)r(α1,α2,…,αs)=r(α1,α2,…,αs,β)(系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,用于大题第一步的检验)
6、线性表示的充分条件:(了解即可)
若α1,α2,…,αs线性无关,α1,α2,…,αs,β线性相关,则β可由α1,α2,…,αs线性表示。
7、线性表示的求法:(大题第二步)
设α1,α2,…,αs线性无关,β可由其线性表示。
(α1,α2,…,αs|β)初等行变换(行最简形|系数)
行最简形:每行第一个非0的数为1,其余元素均为0
(三)线性相关和线性无关
8、线性相关注意事项:
(1)α线性相关α=0
(2)α1,α2线性相关α1,α2成比例
9、线性相关的充要条件:
向量组α1,α2,…,αs线性相关
(1)有个向量可由其余向量线性表示;
(2)齐次方程(α1,α2,…,αs)(x1,x2,…,xs)T=0有非零解;
(3)r(α1,α2,…,αs)<s 即秩小于个数
特别地,n个n维列向量α1,α2,…,αn线性相关
(1) r(α1,α2,…,αn)<n
(2)|α1,α2,…,αn |=0
(3)(α1,α2,…,αn)不可逆
10、线性相关的充分条件:
(1)向量组含有零向量或成比例的向量必相关
(2)部分相关,则整体相关
(3)高维相关,则低维相关
(4)以少表多,多必相关
推论:n 1个n维向量一定线性相关
11、线性无关的充要条件
向量组α1,α2,…,αs 线性无关
(1)任意向量均不能由其余向量线性表示;
(2)齐次方程(α1,α2,…,αs)(x1,x2,…,xs)T=0只有零解
(3)r(α1,α2,…,αs)=s
特别地,n个n维向量α1,α2,…,αn 线性无关
r(α1,α2,…,αn)=n |α1,α2,…,αn |≠0 矩阵可逆
12、线性无关的充分条件:
(1)整体无关,部分无关
(2)低维无关,高维无关
(3)正交的非零向量组线性无关
(4)不同特征值的特征向量无关
13、线性相关、线性无关判定
(1)定义法
(2)秩:若小于阶数,线性相关;若等于阶数,线性无关
【专业知识补充】
(1)在矩阵左边乘列满秩矩阵(秩=列数),矩阵的秩不变;在矩阵右边乘行满秩矩阵,矩阵的秩不变。
(2)若n维列向量α1,α2,α3 线性无关,β1,β2,β3 可以由其线性表示,即(β1,β2,β3)=(α1,α2,α3)C,则r(β1,β2,β3)=r(C),从而线性无关。
r(β1,β2,β3)=3 r(C)=3 |C|≠0
(四)极大线性无关组与向量组的秩
14、极大线性无关组不唯一
15、向量组的秩:极大无关组中向量的个数成为向量组的秩
对比:矩阵的秩:非零子式的最高阶数
注:向量组α1,α2,…,αs 的秩与矩阵A=(α1,α2,…,αs)的秩相等
16、极大线性无关组的求法
(1)α1,α2,…,αs 为抽象的:定义法
(2)α1,α2,…,αs 为数字的:
(α1,α2,…,αs)初等行变换阶梯型矩阵
则每行第一个非零的数对应的列向量构成极大无关组
(五)向量空间
17、基(就是极大线性无关组)变换公式:
若α1,α2,…,αn 与β1,β2,…,βn 是n维向量空间V的两组基,则基变换公式为(β1,β2,…,βn)=(α1,α2,…,αn)Cn×n
其中,C是从基α1,α2,…,αn 到β1,β2,…,βn 的过渡矩阵。
C=(α1,α2,…,αn)-1(β1,β2,…,βn)
18、坐标变换公式:
向量γ在基α1,α2,…,αn与基β1,β2,…,βn 的坐标分别为x=(x1,x2,…,xn)T,y=(y1,y2,…,yn)T,,即γ=x1α1 x2α2 … xnαn =y1β1 y2β2 … ynβn,则坐标变换公式为x=Cy或y=C-1x。其中,C是从基α1,α2,…,αn 到β1,β2,…,βn 的过渡矩阵。C=(α1,α2,…,αn)-1(β1,β2,…,βn)
(六)Schmidt正交化
19、Schmidt正交化
设α1,α2,α3 线性无关
(1)正交化
令β1=α1
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(2)单位化
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4 线性方程组
(一)方程组的表达形与解向量
1、解的形式:
(1)一般形式
(2)矩阵形式:Ax=b;
(3)向量形式:A=(α1,α2,…,αn)
2、解的定义:
若η=(c1,c2,…,cn)T满足方程组Ax=b,即Aη=b,称η是Ax=b的一个解(向量)
(二)解的判定与性质
3、齐次方程组:
(1)只有零解r(A)=n(n为A的列数或是未知数x的个数)
(2)有非零解r(A)<n
4、非齐次方程组:
(1)无解r(A)<r(A|b)r(A)=r(A)-1
(2)唯一解r(A)=r(A|b)=n
(3)无穷多解r(A)=r(A|b)<n
5、解的性质:
(1)若ξ1,ξ2是Ax=0的解,则k1ξ1 k2ξ2是Ax=0的解
(2)若ξ是Ax=0的解,η是Ax=b的解,则ξ η是Ax=b的解
(3)若η1,η2是Ax=b的解,则η1-η2是Ax=0的解
(1)设η1,η2,…,ηs是Ax=b的解,则k1η1 k2η2 … ksηs为
Ax=b的解 (当Σki=1)
Ax=0的解 (当Σki=0)
(2)设η1,η2,…,ηs是Ax=b的s个线性无关的解,则η2-η1,η3-η1,…,ηs-η1为Ax=0的s-1个线性无关的解。
变式:η1-η2,η3-η2,…,ηs-η2
η2-η1,η3-η2,…,ηs-ηs-1
(三)基础解系
6、基础解系定义:
(1)ξ1,ξ2,…,ξs 是Ax=0的解
(2)ξ1,ξ2,…,ξs 线性相关
(3)Ax=0的所有解均可由其线性表示
基础解系即所有解的极大无关组
注:基础解系不唯一。
任意n-r(A)个线性无关的解均可作为基础解系。
7、重要结论:(证明也很重要)
设A施m×n阶矩阵,B是n×s阶矩阵,AB=O
(1)B的列向量均为方程Ax=0的解
(2)r(A) r(B)≤n(第2章,秩)
8、总结:基础解系的求法
(1)A为抽象的:由定义或性质凑n-r(A)个线性无关的解
(2)A为数字的:A初等行变换阶梯型
自由未知量分别取1,0,0;0,1,0;0,0,1;代入解得非自由未知量得到基础解系
(四)解的结构(通解)
9、齐次线性方程组的通解(所有解)
设r(A)=r,ξ1,ξ2,…,ξn-r 为Ax=0的基础解系,
则Ax=0的通解为k1η1 k2η2 … kn-rηn-r (其中k1,k2,…,kn-r为任意常数)
10、非齐次线性方程组的通解
设r(A)=r,ξ1,ξ2,…,ξn-r 为Ax=0的基础解系,η为Ax=b的特解,
则Ax=b的通解为η k1η1 k2η2 … kn-rηn-r (其中k1,k2,…,kn-r为任意常数)
(五)公共解与同解
11、公共解定义:
如果α既是方程组Ax=0的解,又是方程组Bx=0的解,则称α为其公共解
12、非零公共解的充要条件:
方程组Ax=0与Bx=0有非零公共解