积分就是还原dy,= y 在讲微分的时候讲过积分的符号,它是由Summation --> S 演变而来。是积分符号,是积分式
y = x² x 1的导函数是 y' = 2x 1,导函数也可以用莱布尼茨符号表示 = 2x 1
由= 2x 1推导出 dy = (2x 1) * dx (变化率的估计),积分表示为dy = 2x 1 dx,2x 1被称作“被积分函数”
被积分函数 2x 1 反推原式 x² x C ( C为未定常数 ),C可以是任一常数,所以被积分函数反推的式子可以是无穷多的
反导函数和积分的基本公式积分就是要还原微分,或者说做积分的动作相当于反过来的微分
接着看这个式子2x 1 dx = x² x C x² x C是 2x 1所有可能的反导函数
像 x² x 是 2x 1的一个反导函数, x² x 1,x² x 2,x² x - 1001 等等都是 2x 1的反导函数
由此可推出:n项多项式 dx = x² x C 左边有一个积分符号和dx,中间是n项多项式,右边推导的反函数有常数项,可以对应无穷多个反函数,称为这样的式子叫(不定)积分
看几个不定积分的例子:x 1 dx = x² x C ; 3x²-4x-6 dx =
- 2x² - 6x C
积分的基本公式dx = [] C(r≠-1) 验证一下这个公式:[]' = [] = 需要注意的是该公式的r≠-1,因此不能做被积分函数
自由落体自由落体是只受重力(如地球吸引力)等的加速运动,速率成比例的加快。公式为= -9.8t
公式中的 - 代表速度朝下的,公式可以理解为自由落体时,当时间为 t (sec)时,下降时的速率为 9.8t ( m/sec )
看一个例子:x = x(t),为瞬间 t 的高度(m)。假设 x 从1000m下落,求10秒后 x 有多高,几秒x落地
解: x = dt = -9.8t dt = -4.9t² 1000 ( x 为当时间是t时的高度)
当 t = 10 时,x(10) = 510,即10秒后 x 有510m高
-4.9t² 1000 = 0
t² = ≈ 204
t = ≈ 14.3(sec)
即大约14.3秒落地
微积分基本定理定积分表示为dx,不定积分表示为dx
定积分算出来是一个数,,是 f(x) 对 x 从 a 到 b 的积分;不定积分算出来是一个函数
举一个例子:f(x) = (变化率,这里指速度),y = F(x) 是某物体在时间 x (sec) 的位置(m);由此可推出= F'(x) = f(x),F 是 f 的一个反导函数 =运动后从时间 a 到时间 b 的位移 = F(b) - F(a)
定积分的总量含义不定积分:可推出F,常数无穷多
若f(x)是F(x)的导函数(F的变化率) f(x) = F'(x) = dx = dx = dF = F(b) - F(a) 定积分:求 x = a 到 x = b 的数
变化率在物理上最常见的是指速度(F 位移),变化率在金融主要是指边际利润(F 利润,x 销量)、边际成本
定积分的面积含义若 f(x) 表示高度(m),x 表示宽(m)
f(x) dx = F(b) - F(a) = f(x)图形在 a, b之间,在 x 轴上方的面积
看一个例子:高f(x)=2,求 x 轴从 0 到 3 的面积。该例用求解长方形面积的方法很好求解:长方形的面积 = 宽*高 = 2*3 = 6
现在熟悉下定积分求解面积:f(x) dx = 2 dx == [2*3] - [2*0] = 6
再看一个例子,求下图直角三角形的面积
解:dx = == [* 2²] - [* 0²] = 3
即直角三角形的面积是 3
供需平衡首先了解一个概念:供需曲线包括需求和供给,是price(价格)与供应量需求量的数学模型
假设需求 P = 0.4x² - 2x 6
供给 P = 0.6x² 1
(x:需求量或供给量(万件);P:价格(元))