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导读任选两个自然数，它们互质的概率是多少？它就是s = 2时欧拉乘积公式右边的连乘的倒数，因此它等于s = 2时欧拉乘积公式左边的连加的倒数，即1/ζ(2)。而ζ(2) = π^2/6，因此这个概率等于6/π^2 ≈ 60.79%。同样的，三个自然数互质的概率是1/ζ(3) ≈ 83.19%，四个自然数互质的概率是1/ζ(4) ≈ 92.39%。
在上一期节目（文章见理解黎曼猜想（一）背景 | 袁岚峰，视频见https://www.bilibili.com/video/av34580488）中，我们首先介绍了黎曼猜想的背景，即质数分布问题。然后指出了研究质数分布的基本工具，即欧拉乘积公式：
这个公式左边的n指的是所有的自然数，1、2、3、4、5等等，右边的p指的是所有的质数，2、3、5、7、11等等。公式两端都出现的s是一个变量，当s > 1时欧拉乘积公式成立。
数学家经常用大写的希腊字母Σ来表示求和，用大写的希腊字母Π来表示连乘。用这种表达方式，我们可以把欧拉乘积公式简写成下面这样：
然后，我们给出了欧拉乘积公式的证明。如果把n-s记作f(n)，左边就是无穷级数Σn f(n)。对这个无穷级数乘以[1 - f(2)]，就会消掉所有的f(2n)项。再乘以[1 - f(3)]，就会消掉剩下的项中所有的f(3n)项。再乘以[1 - f(5)]，就会消掉剩下的项中所有的f(5n)项。把这样的操作重复无限多次，就会消掉所有的质数的倍数对应的项，也就是消掉所有的大于1的自然数对应的项，最后只剩下f(1)这一项，它等于1。把所有乘上去的[1 - f(2)] [1 - f(3)] [1 - f(5)]…等等移到右边去，就是欧拉乘积公式的右边Πp [1 - f(p)]-1。这样，我们就证明了欧拉乘积公式。
这其实就是当初欧拉的证明方法。它确实是一个非常巧妙的证明，堪称人类智慧的伟大结晶，令人赞叹不已。
欧拉
在上期节目的视频中，我注意到一件有趣的事。当我开始讲这个证明过程的时候，弹幕中充满了“告辞”、“劝退”、“阵亡”、“我是谁，我在哪，我在干什么”之类自暴自弃的话。但随着讲解过程的深入，越来越多的弹幕变成了“懂了”、“妙啊”、“存活”、“说得很清楚啊”。最后当证出来的时候，更是充满了一大片的“原来如此”、“太精彩了”、“恍然大悟”、“开心”等等。
