Tag : 「二分」、「三分」
符合下列属性的数组 arr 称为 山脉数组 ：
- arr.length >= 3
- 存在 i（0 < i < arr.length - 1） 使得：arr[0] < arr[1] < ... arr[i-1] < arr[i]arr[i] > arr[i 1] > ... > arr[arr.length - 1]
给你由整数组成的山脉数组 arr ，返回任何满足 arr[0] < arr[1] < ... arr[i - 1] < arr[i] > arr[i 1] > ... > arr[arr.length - 1] 的下标 i 。
示例 1：
输入：arr = [0,1,0]
输出：1
示例 2：
输入：arr = [0,2,1,0]
输出：1
示例 3：
输入：arr = [0,10,5,2]
输出：1
示例 4：
输入：arr = [3,4,5,1]
输出：2
示例 5：
输入：arr = [24,69,100,99,79,78,67,36,26,19]
输出：2
提示：
往常我们使用「二分」进行查值，需要确保序列本身满足「二段性」：当选定一个端点（基准值）后，结合「一段满足 & 另一段不满足」的特性来实现“折半”的查找效果。
但本题求的是峰顶索引值，如果我们选定数组头部或者尾部元素，其实无法根据大小关系“直接”将数组分成两段。
但可以利用题目发现如下性质：由于 arr 数值各不相同，因此峰顶元素左侧必然满足严格单调递增，峰顶元素右侧必然不满足。
因此 以峰顶元素为分割点的 arr 数组，根据与 前一元素/后一元素 的大小关系，具有二段性：
因此我们可以选择任意条件，写出若干「二分」版本。
代码：
class Solution {
// 根据 arr[i-1] < arr[i] 在 [1,n-1] 范围内找值
// 峰顶元素为符合条件的最靠近中心的元素
public int peakIndexInMountainArray(int[] arr) {
int n = arr.length;
int l = 1, r = n - 1;
while (l < r) {
int mid = l r 1 >> 1;
if (arr[mid - 1] < arr[mid]) l = mid;
else r = mid - 1;
}
return r;
}
}
class Solution {
// 根据 arr[i] > arr[i 1] 在 [0,n-2] 范围内找值
// 峰顶元素为符合条件的最靠近中心的元素值
public int peakIndexInMountainArray(int[] arr) {
int n = arr.length;
int l = 0, r = n - 2;
while (l < r) {
int mid = l r >> 1;
if (arr[mid] > arr[mid 1]) r = mid;
else l = mid 1;
}
return r;
}
}
class Solution {
// 根据 arr[i-1] > arr[i] 在 [1,n-1] 范围内找值
// 峰顶元素为符合条件的最靠近中心的元素的前一个值
public int peakIndexInMountainArray(int[] arr) {
int n = arr.length;
int l = 1, r = n - 1;
while (l < r) {
int mid = l r >> 1;
if (arr[mid - 1] > arr[mid]) r = mid;
else l = mid 1;
}
return r - 1;
}
}
class Solution {
// 根据 arr[i] < arr[i 1] 在 [0,n-2] 范围内找值
// 峰顶元素为符合条件的最靠近中心的元素的下一个值
public int peakIndexInMountainArray(int[] arr) {
int n = arr.length;
int l = 0, r = n - 2;
while (l < r) {
int mid = l r 1 >> 1;
if (arr[mid] < arr[mid 1]) l = mid;
else r = mid - 1;
}
return r 1;
}
}
事实上，我们还可以利用「三分」来解决这个问题。
顾名思义，「三分」就是使用两个端点将区间分成三份，然后通过每次否决三分之一的区间来逼近目标值。
代码：
class Solution {
public int peakIndexInMountainArray(int[] arr) {
int n = arr.length;
int l = 0, r = n - 1;
while (l < r) {
int m1 = l (r - l) / 3, m2 = r - (r - l) / 3;
if (arr[m1] > arr[m2]) r = m2 - 1;
else l = m1 1;
}
return r;
}
}
- 时间复杂度：O(log3n)
- 空间复杂度：O(1)
必须说明一点，「二分」和「三分」在渐进复杂度上都是一样的，都可以通过换底公式转化为可忽略的常数，因此两者的复杂度都是 O(logn)。
而选择「二分」还是「三分」取决于要解决的是什么问题：
- 二分通常用来解决单调函数的找target 问题，但进一步深入我们发现只需要满足「二段性」就能使用「二分」来找分割点；
- 三分则是解决单峰函数极值问题。
因此一般我们将「通过比较两个端点，每次否决 1/3 区间 来解决单峰最值问题」的做法称为「三分」；而不是简单根据单次循环内将区间分为多少份来判定是否为「三分」。
随手写了一段反例代码：
class Solution {
public int peakIndexInMountainArray(int[] arr) {
int left = 0, right = arr.length - 1;
while(left < right) {
int m1 = left (right - left) / 3;
int m2 = right - (right - left 2) / 3;
if (arr[m1] > arr[m1 1]) {
right = m1;
} else if (arr[m2] < arr[m2 1]) {
left = m2 1;
} else {
left = m1; right = m2;
}
}
return left;
}
}
这并不是「三分」做法，最多称为「变形二分」。本质还是利用「二段性」来做分割的，只不过同时 check 了两个端点而已。
如果这算「三分」的话，那么我能在一次循环里面划分 k−1 个端点来实现 k 分？
显然这是没有意义的，因为按照这种思路写出来的所谓的「四分」、「五分」、「k 分」是需要增加同等数量的分支判断的。这时候单次 while 决策就不能算作O(1) 了，而是需要在O(k) 的复杂度内决定在哪个分支，就跟上述代码有三个分支进行判断一样。
因此，这种写法只能算作是「变形二分」。
综上，只有「二分」和「三分」的概念，不存在所谓的k 分。 同时题解中的「三分」部分提供的做法就是标准的「三分」做法。
