悖论，是一种认识矛盾，包括了逻辑矛盾、语义矛盾、思想方法的矛盾。早在古希腊时期，数学和哲学家团体埃利亚学派（Eleatic school）的代表人物芝诺（Zeno of Elea，490B.C.～430B.C.）提出的有关运动的四个悖论（二分法悖论、阿基里斯追龟悖论、飞矢不动悖论、运动场悖论）就闻名于世，世称芝诺悖论（Zeno's paradoxes），至今仍余波未平。

在近代，著名的悖论有伽利略悖论、光速悖论、双生子佯谬等等。这些悖论从逻辑上来看都是一些思想矛盾，从认识论上看则是客观矛盾在思想上的反映。

悖论似乎是听起来可能而实际不可能的事情。但悖论并不等同于不可能，某些事情看似不可思议，实则与规则并无冲突。

还有一些简单的、逻辑不一致的论点是非真实的，只是偷换了概念。有些事情似乎是真的不可能，它们在现实意义上是不可能存在的。

数学悖论，作为悖论的一种，主要发生在数学研究之中。按广义的悖论定义，所有数学规范中发生的无法解决的矛盾，可以在新的数学规范中得到解决。数学悖论中比较著名的有：贝特朗悖论、谷堆悖论、偶数与自然数一样多、科赫雪花、加百列号角等。

例如，关于有限与无限的科赫雪花（Koch snowflake）问题，是一种奇特形状的几何曲线，又称雪花曲线。科赫雪花是以等边三角形三边生成的科赫曲线组成的。已经证明科赫雪花的面积是一个有限值，而每条科赫曲线的长度是无限大，具有分形曲线的性质。

换句话说，科赫雪花具有有限的面积，而周长却趋于无限大（让人头疼）。这是一个匪夷所思的悖论：无穷大的边界线，包围着有限的面积。

很显然，悖论异于逻辑上的不可能。就让我们到一个定义明确的数学世界看看。在数学这个无限的世界里，时常会出现许多矛盾的实体。一个典型的例子就是，通常被人们称为“加百列号角”（Gabriel's Horn）的三维结构。

意大利数学家托里拆利（Evangelista Torriceli），将最经典的反比例函数 y=1/x （ x 大于等于1）的那部分绕 x 轴旋转一周，得到一个小号状的三维几何形状，也被称为托里拆利小号（Torriceli's Trumpet）。