这些数字有什么共同点？都是素数！

如果你只是模糊地记得你的小学数学课，你可能不记得什么是质数。很遗憾，因为如果您试图保护您的电子邮件免受黑客攻击或在虚拟专用网络(VPN) 上保密地上网冲浪，您甚至在没有意识到的情况下使用了素数。

这是因为质数是RSA 加密的重要组成部分，RSA 加密是一种保护信息的常用工具，它使用质数作为密钥来解锁隐藏在大量伪装成数字乱码中的消息。此外，质数在现代技术领域还有其他应用，包括在定义您现在所注视的计算机屏幕上像素的颜色强度方面的重要作用。

什么是质数？

那么，到底什么是质数呢？素数是如何在现代世界变得如此重要的？

正如Wolfram MathWorld 解释的那样，素数（也简称为质数）是大于 1 的正数，只能被 1 和它本身整除。数字 1 既不是质数也不是合数。

记住它的一个好方法是知道质数不能除以任何其他正自然数而不留下余数、小数或分数。以质数 13 为例。它只有两个约数：1 和 13。13 ÷ 6 = 2，余数为 1。将质数除以任何其他自然数会得到剩余数。

为什么 2 是唯一的偶素数？

“唯一的偶数是 2，”印第安纳大学东南部最近退休的教育学副教授德比明克说，他的专长包括教授初等数学。“所有其他素数都是奇数。” 这是因为他们有两个以上的因素。那么，让我们来看看。

所有偶数都是合数。2 是唯一的偶素数，因为它的因数不超过两个——它唯一的因数是 1 和数字 2 本身。一个数要被归类为素数，它应该恰好有两个因数。由于 2 恰好有两个因数，1 和数字本身 2，因此它是一个素数。

像 2、3、5、7、11、13 和 17 这样的数字都被认为是质数，因为它们恰好有两个因子，1 和数字本身。像 4、6、8、9、10 和 12 这样的数字不是质数，因为它们有两个以上的因子。

素数和合数有什么区别？

合数与质数相反。除了 1 和它们本身之外，它们还可以除以其他数字。

马克·泽加雷利 (Mark Zegarelli)是广受欢迎的“傻瓜书”系列中众多数学书籍的作者，他还教授考试准备课程，他提供了一个涉及硬币的插图，他用它和他的一些学生一起解释素数和合数之间的区别。

“想想数字 6，”Zegarelli 说，他引用了一个合数。“想象一下，你有六枚硬币。你可以把它们组成一个长方形，两排三枚硬币。你也可以用八枚硬币来做，把四枚硬币排成两排。数字 12，你可以把它变成不止一种矩形——你可以有两排六枚硬币，或者三乘四。”

“但如果你拿数字 5，无论你怎么尝试，你都不能把它变成一个矩形，”Zegarelli 指出。“你能做的最好的事情就是把它串成一条线，一行五个硬币。所以，你可以称 5 为一个非矩形数。但更简单的说法是称它为质数。”

还有很多其他素数——2、3、7 和 11 也在列表中，并且从那里不断滚动。早在公元前 300 年左右，希腊数学家欧几里德就设计了素数无限性证明，这可能是第一个表明素数数量无限的数学证明。（在古希腊，无限的现代概念还没有得到很好的理解，欧几里得将素数的数量简单地描述为“比任何指定的素数数量都多。”）

Zegarelli 说，理解素数和复合数的另一种方法是将它们视为因子的乘积。“2 乘以 3 等于 6，所以 2 和 3 是 6 的因数。所以，有两种方法可以得到 6 - 1 乘以 6，和 2 乘以 3。我喜欢将它们视为因数对。所以，复合数字，你有多个因子对，而对于质数，你只有一个因子对，是数字本身的一个倍数。”

Zegarelli 说，证明素数列表是无限的并不难。“想象一下，有一个最后一个最大的素数。我们称它为 P。然后我将把所有素数取到 P 并将它们全部相乘。如果我这样做并将乘积加一，那个数字必须是素数。”

相反，如果一个数是合数，它总是可以被一定数量的低质数整除。“一个组合也可以被其他组合整除，但最终，你可以将它分解成一组素数。” （例如：数字 48 恰好有两个因数，6 和 8，但您可以将它进一步分解为不止两个因数：2 乘以 3 乘以 2 乘以 2 乘以 2。）

什么是埃拉托色尼筛法？

埃拉托色尼筛法是一种方法，由希腊数学家埃拉托色尼在公元前三世纪引入，用于在一组数字中找出素数和合数。

埃拉托色尼筛法基于素数的倍数本身不是素数的想法。所以，在搜索素数的时候，可以把每个素数的所有倍数都划掉。这消除了许多原本会无缘无故尝试的数字，因此埃拉托色尼筛法可以节省大量时间。

1 到 100 之间的质数列表

在数字 1 和 100 之间只有 25 个素数：

• 1 到 10 之间的质数：2、3、5、7
• 11 到 20 之间的素数：11, 13, 17, 19
• 21 到 30 之间的素数：23、29
• 31 到 40 之间的素数：31、37
• 41 到 50 之间的质数：41、43、47
• 51 到 100 之间的质数：53、59、61、67、71、73、79、83、89、97

100以内的素数共有25个

为什么质数很重要

那么，为什么数千年来质数对数学家如此着迷呢？正如 Zegarelli 解释的那样，许多高等数学都基于素数。但也有密码学，其中质数具有至关重要的意义，因为真正大的数具有特别有价值的特征。他说，没有快速、简单的方法来判断它们是素数还是合数。

区分大素数和大合数的困难使得密码学家有可能想出大合数，这些大合数是两个真正大的素数的因数，由数百位数字组成。

“想象一下你门上的锁是一个 400 位数字，”Zegarelli 说。“钥匙是用于创建 400 位数字的 200 位数字之一。如果我口袋里有这些因素之一，我就有房子的钥匙。但如果你没有没有这些因素，很难进去。”

这就是为什么数学家在一个名为Great Internet Mersenne Prime Search 的正在进行的项目中继续努力想出越来越大的素数。2018 年，该项目导致发现了一个由 23,249,425 位数字组成的素数，足以填满 9,000 页书页，正如朴茨茅斯大学（英国）数学家 Ittay Weiss 在 The Conversation 中所描述的那样。经过14年的计算，得出了这个巨大的质数，比可观测宇宙中估计的原子数大23万倍！