作者 | 刘瑞祥

来源 | 说短论长

我在高中学完排列组合后曾经思考过这样一个问题：天干一共是10个字：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸，地支是12个字：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥。那么按照排列的结果，一共有120种结合方式，但为什么60年一个甲子？

后来当然我是明白了，原因在于天干地支必须按顺序循环，不能随意结合。比如“甲子”“乙丑”等等是合法的，而“甲丑”“乙子”等等则是非法的。换言之，奇数位置的天干只能和奇数位置的地支结合，偶数位置的天干只能和偶数位置的地支结合。这里的道理在于，10和12的最大公约数是2，所以“合法”的结合方式必须是10和12的乘积除以2，即二者的最小公倍数。

下面我设计一种操作来帮助大家理解：取一些长度为10里面的纸张，每隔1厘米画一条线，然后每张纸都按顺序写上从甲到癸等天干字样，另外取一些长度12里面的纸，也是每隔1厘米画一条线，每张纸按顺序写上从子到亥等地支字样。然后两种纸分别首尾相接排成两排，显然6张代表天*纸长度和5张代表地支的纸相同。如果两种纸起点位置相同又朝一个方向铺排的话，那么可以看到：“甲”永远不可能和“丑”并排，“乙”永远不能和“子”并排，最后能出现的结合方式正好是60种。

下面这种操作是错误的：弄两个罐子，其中一个里作好10个阄，分别写上天干字样，另外一个里有12个写上地支字样的阄。每次分别从两个罐子里各抓一个结合在一起，然后放回再重新抓。这样一直操作下去并且把每次结果记录下来，显然有120种可能性。

我们还可以这样设想一下：如果天干只有2个（设为甲乙）而地支有4个（设为子丑寅卯），则合法的组合只有4种，决不可能是8（2乘4）种：即甲子、乙丑、甲寅、乙卯。但如果天干有3个而地支有4个，那么合法的组合就是12种了，恰好等于二者的乘积。类似的，如果天干有9个而地支有12个，则合法的结合方式只有36种，尽管9和12的乘积是108。

下面附上现实生活中全部合法的组合：