周期函数的定义

如果存在一个非零常数T，使得当X取定义域内的任何值时，都有f(X T)=f(x)，那么就称函数y=f(X)为周期函数。

如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(X)的最小正周期。

常见结论：

①若T是函数y=f(X)的周期，叫KT(K∈Z，且K≠0)也是y=f(X)的周期。即f(Ⅹ kT)=f(X);

②若f(X a)=一f(x)，则T=2a;

若f(X a)=1/f(X)，则T=2a

常见错误：

①认为只有三角函数才有周期性。其实只不过是三角函数的周期性比较明显而已。

②认为周期函数都有最小正周期。有些周期函数有最小正周期，而有些周期函数没有最小正周期。如f(x)=1，满足f(X T)=f(x)=1，是周期函数，但没有最小正周期。

题型一：已知周期，求值。

已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<X<1时，f(Ⅹ)=4^×，则f(一5/2) f(1)=()

[思路探寻]：f(一5/2)=f(一5/2 2)=f(一1/2)=一f(1/2)=一4^(1/2)=一2;

f(X)是奇函数，∴f(一1)=一f(1)，又f(一1)=f(一1 2)=f(1)，∴f(1)=一f(一1)，所以f(1)=0。

同步跟踪：

1、已知函数f(x)是周期为2的奇函数。当X∈(0，1]时，

f(X)=lg(X 1)，则f(2019/5) |g12=()

2、X为实数，[X]表示不超过X的最大整数，则函数f(X)=X一[X]在R上为()

A、奇函数B、偶函数C、增函数D、周期函数。

题型二：先求周期，利用周期性和单调性作出函数的图象，再求值。

定义在R上的奇函数f(x)满足f(X一4)=一f(X)，且在[0，2]上为增函数。若方程f (X)=m(m>0)在区间[一8，8]上有四个不同的根Ⅹ1，X2，X3，X4，则X1 X2 X3 X4的值()。

[思路探寻]：条件f(X一4)=一f(X)用来确定周期性。f(X 4)=一f(Ⅹ)，f(X 8)=f(X 4 4)=一f(Ⅹ 4)=f(X)，∴f(x)是以8为周期的周期函数。又f(x一4)=一f(x)=f(一X)，∴f(x)关于X=一2对称，作出函数的图象，

由中点公式知X1 X2=一6x2=一12，X3 X4=2X2=4，∴X1 X2 X3 X4=一8。

[同步跟踪]：设f(x)是(一∞， ∞)上的奇函数，f(x 2)=一f(x)，当0≤X≤1时，f(X)=X。

（1）求f(兀)的值;

（2）当一4≤X≤4时，求f(x)的图像与X轴所围成的图形的面积。

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