H34.如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为PA=3，PB=4，PC=5，求△ABC的面积。

因为等边△ABC的面积=AB^2×sina60°/2，要求其面积，必须求出其边长AB。为此将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△BP’A，构成Rt△PP’A，进而得∠BPA=150°，构造Rt△PQA，使∠APQ=30°，求得AQ=3/2,PQ=3√3/2,再在Rt△ABQ中，利用勾股定理求出AB的平方即可。

∵△ABC为等边三角形，

∴BA=BC，

可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BP’A，连P’P，且延长BP，作AQ⊥BP于点Q．

∴BP’=BP=4，AP’=PC=5，∠PBP’=60°，

∴△BPP’为等边三角形，

∴PP’=PB=4，∠BPP’=60°，

在△AP’P中，AP’=5，AP=3，PP’=4，

∴AP’²=PP’² PA²，

∴△APP’为直角三角形，且∠APP’=90°，

∴∠APB=90° 60°=150°．

∴∠APQ=30°，

∴在直角△APQ中，AQ=AP/2=3/2，PQ=3√3/2,

∴在直角△ABQ中，AB²=BQ² AQ²

=（4 3√3/2）^2 （3/2）^2=25 12√3,

则△ABC的面积=√3（25 12√3）/4=(36 25√3)/4.

1.利用60°特殊角，旋转，构造出三个直角三角形是关键；

2.利用勾股定理逆定理判断直角三角形；

3.反复利用勾股定理和特殊角30°求直角三角形的边；

4.等边三角形的面积公式：边长^2×sina60°/2。