作者 | 大小吴
来源 | 大小吴的数学课堂
今天大小吴来和大家讨论一种神奇的数：完全数。
1 亏数、盈数、完全数我们知道，一个数不管它是素数还是合数，它总有因数。我们记一个正整数的所有因数之和为，那么容易知道对于素数来说，必然有
对于合数来说，必然有
古希腊数学家将与进行比较（实际上，即为一个数的真因数之和，真因数是包括1但不包括这个数本身的因数），称满足
的数为亏数；
满足
的数为盈数；
满足
的数为完全数。
举几个简单的例子，对于正整数4、12、6来说，有
则说明4是亏数、12是盈数、6是完全数。
易知，所有的素数必然是亏数。
我们可以对亏数、盈数、完全数这三种数总结如下：
| 一个正整数 | 亏数 | 盈数 | 完全数 |
|---|---|---|---|
| 真因数之和 | 小于 | 大于 | 等于 |
| 因数之和 | 小于 | 大于 | 等于 |
可以将“亏”、“盈”理解为将真因数之和相对于自身作差而得到的“缺损”和“盈余”。而恰好既不“缺损”也不“盈余”，真因数之和等于自身的数即为“完全数”，又称“完美数”，“完备数”。
2 有多少完全数？完全数是非常稀少的，最小的完全数是6，接下来是28，因为
两位数中的完全数有且只有28，而在三位数中仅有496是完全数，往后越来越稀少。数学家笛卡尔曾公开预言：“完全数是不会多的，好比人类一样，要找一个完美的人亦非易事。”
3 偶数完全数由于目前已知的完全数6、28、496都为偶数，我们现在就来研究一下是偶数的完全数，把偶数分解素因数，得到
令
则
这里假定偶数是完全数，则
另一方面，易证因数和函数是积性函数，因此
又因为
因此
即
因此
这样我们得到了的所有因数之和。
在这里，易知必然是的因数（否则的话，就不是一个整数）。进一步通过观察可知，等式右边有且只有两个的因数，且其中一个已经是它本身，因此只能是一个素数，且
也就是说，是一个能用的形式来表示的素数。那么一开始的偶数完全数可表示为：
其中满足为素数。
对此，我们可以加以验证：
4 完全数与梅森素数
如此一来，我们只需考虑什么时候是素数即可。我们用替换，研究形如的素数，这样的素数称为梅森素数，常见的梅森素数有：
我们发现：当为素数时，似乎也都是素数，这是因为如果不是素数，则必有
这里均是大于1的正整数，因此
即
因式分解得
因此必然也不是一个素数。
但是反之，当是素数时，却未必是一个素数，比如：
梅森素数非常难寻找。目前人类借助计算机，也仅发现51个梅森素数，最大的是，有24862048位。
因此，实际上，只要找到梅森素数就找到了相对应的完全数，例如：
这也就是为什么完全数那么稀少的原因。
参考文献[1]（日）远山启.数学女王的邀请——初等数论入门[M].逸宁译.人民邮电出版社，2020.
