案例背景

《三角形的内角和》是人教版四年级下册数学第67页例6、“做一做”及练习十六的第1、2、3题的内容。它也是教材中一个经典的内容，一直在公开课的舞台上被演绎。教师的教学思路基本上都是这样的：先让学生猜想三角形的内角和，再引导学生动手操作，通过量一量、折一折、拼一拼等活动验证猜想，得出结论，最后进行简单应用。

案例描述

按照这样的程序，我也进行了一番尝试。

第一次教学 ：

学具：每组锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各2 个

全班讨论交流可能的验证方法。(学生立即想到了量，但并没有想到撕一撕、折一折的方法)

全班交流验证方案。

(1) 交流量一量的方法。

汇报的结果三角形的内角和都是180°。

师：你们量出来的都正好是180°吗？只有一个学生怯生生地说： 我算出来是178°。

师：用量一量的方法，为什么有的是180°，有的不是呢？(测量有误差）

(2) 介绍折一折、撕一撕的方法。

存在的问题：

其一，用量一量的方法得到的结论几乎都是180°。究其原因：三角形内角和是180°，学生已经未学先知。仔细观察学生的操作发现，存在两种虚假验证：一是大部分都是先用量角器测量出了其中两个角的度数，再用“180°减一减”的方法算出第三个角；二是“先测量后调整”，即虽然量了三个角，但加起来发现内角和不是180°时，便把其中的某一个或两个角的度数进行了调整，从而凑出三角形的内角和是180°，这样的动手操作失去了应有的价值。

其二，验证方法单一，几乎没有出现预设中的“撕一撕、拼一拼”和“折一折”的方法。当我演示撕的方法时，从学生惊奇的眼神和“原来可以这样”的感叹中，我明白：一方面，教具是老师准备的，学生不敢轻易把学具“弄坏”；另一方面，思维起源于经验，学生从来没有这样的经历，他们没有想到数学原来还可以用这样直观的方法来验证。

通过第一次的实践，当我再次审视这节课时，我觉得自己对学生的思维以及教学的关注点有了更清晰的认识。

第一，既然量一量的方法存在误差，为什么还要量？编者的意图是什么？出发点是什么？它包含的数学内涵和本质是什么？它对学生的思维发展有什么作用？

第二，能不能架构三个层次验证的教学思路，让学生完整经历三角形的内角和是180°这一知识的形成过程。三个层次如下： 先“量一量”，再通过撕、折、画等方法转化成平角。最后通过图形之间的关系进行推理。

第二次教学 ：

课前游戏：

教师拿出一个三角形纸片，谈话：这是什么图形？然后分别指着其中的两个角(分别是61°，59°)问：这两个角那个大？

学生一下子想到量一量，用三角尺的一个角比，对折重叠，即在一张纸上描出其中一个角，然后用另一个角去比的方法。最后老师演示撕下其中一个角来比。(学生惊奇地叫着“哇！还可以撕下来啊？”)

师：究竟哪个角大？因为两个角只相差2°，学生发生了争执，因为有人认为一样大，有人认为大一点也是大。

师：数学是严谨的，大2°也是大。

验证过程：

学具：学生自制的锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各1 个，一张长方形纸或正方形纸。

(1) 讨论验证方法

师：想一想，你准备用什么方法去验证三角形的内角和？

生：量出三个内角的度数，再加起来看是不是180°。(板书：量)

生：这个三角形的内角分别是90°、30°、60°，加起来是180°。

师： 由一个特殊的三角形，我们可以猜想其他三角形内角和可能是180°，但不足以验证所有三角形。

生：我能不能像刚刚一样撕下来，看能不能拼成一个平角？如果能拼成一个平角，那就说明三角形的内角和是180°。（板书：撕、拼→平角）

生： 把三角形都画到一起，看可不可以凑成一个平角！（板书：画→平角）

（2）验证

首先，由学生发现验证。

师：请拿出任意一个三角形，选择自己喜欢的方法来试着验证，如果有困难可以与同桌合作，也可以用课本第67 页的方法试一试，如果有更具创意的方法验证就更好了。

学生分小组活动，教师参与学生的活动，并给予必要的指导。

其次，全班交流验证方案，边口述边用实物操作。

①用量的方法进行验证

生：我选的是一个直角三角形，三个角分别是90°、42°和48°，所以内角和是180°。

生：我验证的是一个钝角三角形，内角和也是180°，因为它的三个内角分别是120°、30°和30°。我还验证了一个锐角三角形，内角和也是180°。

生：我选了一个钝角三角形量了两遍，可我算出来的结果是181 °。

生：我也没算到180°，我加起来是178°。

生：我算得183°。

师：观察这些数据有什么特点或者都在什么范围左右？(180°左右) 说明三角形的内角和大约是180°或180°左右。(板书：大约)

(简单统计各个度数的人数。)

师：量出180°的人最多。数学是非常严谨的，看来三角形的内角和是180°的可能性最大。(板书：大约→最有可能) 那么量的方法并不能使我们完全信服三角形的内角和正好是180°。还有其他的方法验证吗？

②用撕一撕、折一折、画一画的方法验证

生：我把三角形的三个角撕下来，拼成一个平角，从而证明了三角形的三个内角的和是180°。

生：我在一张纸上依次画出三角形的三个角，拼成了一个平角。

生：我也是拼成了一个平角，我用的是折一折的方法。但这个方法不太容易折成功。我发现只要画出三角形的一条高，然后把三个角的顶点都折到垂足上就成功了。

总结：这三种方法异曲同工，都运用了一种“转化”的思想，把三角形的3 个内角正好拼成了一个平角，从而验证了三角形的内角和是180°。

③用推理的方法验证

师：借助于长方形或正方形，你能想办法证明三角形的内角和都是180°吗？

生：长方形有四个直角，所以一共是360°，平均分给这两个直角三角形，所以每个三角形的内角和等于360°÷2=180°。

师：通过长方形与三角形之间的关系，推导出直角三角形的内角和是180°，根据直角三角形的内角和是180°，来探究锐角三角形和钝角三角形的内角和。

学生动手操作，发现将锐角三角形沿着任意一条底边上的高剪开可以得到两个直角三角形，两个直角三角形的内角和是360°，减去两个直角拼成的平角180°，剩下的4个角（原三角形的三个内角) 之和就是180°。钝角三角形只要沿着钝角对边上的高剪开，也可以用同样的验证方法得到这个结论 。

(3) 反思

提问：刚才用量一量的方法，为什么有的是180°，有的不是呢？(操作的过程中有误差，擦掉板书“大约”“最有可能”)

得出结论：三角形的内角和是180°。

案例分析

1、精选材料——激活原生态思维

提供的学习材料不同，对展现学生的原生态思维起到的作用也不一样。我们究竟该以什么样的材料、用怎样的方法，来更好地暴露学生的原生态思维？

第二次执教相对于第一次，使用的学具有两个变化：第一，让学生自制锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各1个；第二，增加了1张长方形和1张正方形的纸片。看似两个不起眼的变化，却为学生发散性思维提供了有力的生长点。因为是自制学具，学生的思维受了比较小的限制，比较容易想到撕下来拼一拼；长方形和正方形纸片的提供，再加上“借助于长方形或正方形，你能想办法分别证明三角形的内角和都是180°吗？”的问题，启发了学生的思维，借助图形之间的关系顺理成章地推导出三角形的内角和是180°。

对多种学习材料的研究和充分的操作时间，延长了验证三角形内角和的探究过程，学生的各种各样的原生态思维才有了可能成长的空间。教师在教学中给学生布置有探究空间的任务，让学生充分探究，在交流中呈现丰富而各具特色的思维过程，教师循着学生的思维，引导学生自主建构，是激发学生参与数学思考、促进思维活动的充分展开的有效手段。

2、层层递进——加强理性思维

第一次的教学中，当出现不是180°的结果时，教师通过追问：“为什么有的是180°，有的不是？”从而让学生知道这是因为量角误差导致的。但学生不能完全信服三角形的内角和为什么偏偏是180°，而不是179°或181°？因而这样的设计不符合严谨的数学推理逻辑。在第二次设计中，通过“大约”推进到“最有可能”，再通过别的方法验证得到结论“三角形的内角和是180°”。最后再寻找通过量的方法为什么有的不正好是180°的原因。这样更符合数学严密的推理过程。

3、直观加推理——培养严密思维

教师创设问题情境，设置矛盾冲突，不断激发学生探究三角形内角和的*，引导学生经历探究性数学活动过程，在“直观的量→撕、折、拼等转化成平角→借助图形之间的关系推理的过程中，通过行为操作、数学思维，让学生完整地经历数学研究的过程，在探索和交流中逐步建构三角形内角和是180°。在这一层层递进的探究性数学活动中，学生经历了既有外显的行为操作，又有内隐的思维操作的探究活动，逐步建构三角形的内角和是180°。由于教师精心设计了逐步递进的问题，有效地激活了学生的数学思维，学生在经历探究三角形内角和的过程中，不仅理解了三角形的内角和是180°，而且能够初步领悟探究问题的基本方法，获得较为丰富的数学活动经验和数学思维经验。

(1)“量一量”是学生验证三角形内角和最原始的方法，也是最直接、最容易想到的方法。所以，“量一量”尊重了学生自然产生的朴素想法，尊重了学生的认知规律。学生有了量的直觉，再验证，验证后却发现有误差——三角形的内角和不正好是180°。这不仅激起了学生进一步寻找其他方法进行探索的*，而且经历“量一量”的过程，也是完整经历数学研究的第一步，既增强了学生的动手操作的能力，又培养了学生的直觉思维和空间思维。

(2)通过“撕一撕”、“拼一拼”、“折一折”或“画一画”的方法，学生通过动手操作把三角形内角和转化为平角的探究活动后，教师通过引导让学生认识到撕、拼、画的验证方法，其实是把三角形的内角和转化成了一个平角。在第二次教学中，把隐含于数学知识之中的转化思想充分揭示出来，并利用各种教学手段加以渗透，使学生对“转化”的数学思想有所感悟，提高学生发散思维和创新思维能力。

(3)把长方形或正方形纸对折成两个完全一样的三角形，再借助长方形的内角和是360°，推导出其中每个直角三角形的内角和都正好是长方形或正方形内角和的一半，从而得出了直角三角形的内角和是180°；然后再利用“直角三角形的内角和是180°”这一知识去探究锐角三角形和钝角三角形的内角和，从而证明了任意三角形的内角和都是180°。这也改变了以往数学教学中单纯依靠动手操作获取知识的教学方式，而是借助“直观加推理”的方法，让学生经历从特殊到一般的归纳推理，渗透了“数学问题的解决不能单纯依靠实际度量或其他的具体操作，更需要依靠深入的数学分析的数学思想，这样才可以培养学生的逻辑思维能力”。