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向量的模与向量之间如何换算(向量的模如何转化为向量)

来源:原点资讯(www.yd166.com)时间:2023-06-13 01:25:37作者:YD166手机阅读>>

1.空间向量的概念:

具有大小和方向的量叫做向量

注:⑴空间的一个平移就是一个向量

⑵向量一般用有向线段表示,同向等长的有向线段表示同一或相等的向量

⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示

2.空间向量的运算

定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下

向量的模与向量之间如何换算,向量的模如何转化为向量(1)

向量的模与向量之间如何换算,向量的模如何转化为向量(2)

向量的模与向量之间如何换算,向量的模如何转化为向量(3)

运算律:⑴加法交换律:a b=b a

⑵加法结合律:(a b) c=a (b c)

⑶数乘分配律:λ(a b)=λa λb

3共线向量

表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量a平行于b记作a//b.

当我们说向量a、b共线(或a//b)时,表示a、b的有向线段所在的直线可能是同一直线,也可能是平行直线.

4.共线向量定理及其推论:

共线向量定理:空间任意两个向量a、b(b≠0),a//b的充要条件是存在实数λ,使a=λb.

推论:如果ι为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线,那么对于任意一点O,点P在直线ι上的充要条件是存在实数t 满足等式 OP=OA ta.

其中向量a叫做直线ι的方向向量.

5.向量与平面平行:

已知平面α和向量a,作OA=a,如果直线OA平行于α或在α内,那么我们说向量α平行于平面α,记作:a//α.

通常我们把平行于同一平面的向量,叫做共面向量

说明:空间任意的两向量都是共面的

6.共面向量定理:

如果两个向量a,b不共线,P与向量a,b共面的充要条件是存在实数x,y使P=xa yb

推论:空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x,y,使MP=xMA yMB或对空间任一点O,有OP=OM xMA yMB ①

①式叫做平面MAB的向量表达式

7 空间向量基本定理:

如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使p=xa yb zc

推论:设O,A,B,C是不共面的四点,则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数x,y,z,使OP=xOA yOB zOC

8 空间向量的夹角及其表示:

已知两非零向量a,b在空间任取一点O,作OA=a,OB=b则∠AOB叫做向量a与b的夹角,记作<a,b>;且规定0≤<a,b>≤π,显然有<a,b>=<b,a>;若<a,b>=π/2,则称a与b互相垂直,记作:a⊥b.

9.向量的模:

设OA=a,则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模,记作:|a|.

10.向量的数量积: a·b=|a|·|b|·cos<a,b>.

已知向量AB=a和轴ι,e是ι上与ι同方向的单位向量,作点A在ι上的射影A',作点B在ι上的射影B',则A'B'叫做向量AB在轴ι上或在e上的正射影.

可以证明A'B'的长度|A'B'|=|AB|cos<a,e>=|a,e|.

11.空间向量数量积的性质:

(1)a·e=|a|cos<a,e>.

(2)a⊥b<=>a·b=0.

(3)|a|²=a·a.

12.空间向量数量积运算律:

(1)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).

(2)a·b=b·a(交换律)

(3)a·(b c)=a·b a·c(分配律).

空间向量的坐标运算

一.知识回顾:

(1)空间向量的坐标:空间直角坐标系的x轴是横轴(对应为横坐标),y轴是纵轴(对应为纵轴),z轴是竖轴(对应为竖坐标).

①令a=(a1,a2,a3),b=(b₁,b₂,b₃),则a b=(a₁±b₁,a₂±b₂,a₃±b₃)

λ a=(λa₁,λa₂,λ₃)(λ∈R)

a·b=a₁b₁ a₂b₂ a₃b₃=0

a//b<=>a₁=λb₁,a₂=λ₂,a₃=λ₃(λ∈R)<=>₁/b₁=a₂/b₂=a₃/b₃

a⊥b<=>a₁b₁ a₂b₂ a₃b₃=0

|a|=√(a·a)=√(a₁² a₂² a₃²)(用到常用的向量模与向量之间的转化:|a|²=a·a=>|a|=√(a·a))

cos<a,b>=a·b/|a|·|b|=(a₁b₁ a₂b₂ a₃b₃)/ √(a₁² a₂² a₃²)·√(b₁² b₂² b₃²)

②空间两点的距离公式:d=√[(x₂-x₁)² (y₂-y₁)² (z₂-z₁)²].

(2)法向量:若向量a所在直线垂直于平面α,则称这个向量垂直于平面α,记作a⊥α,如果a⊥α那么向量a叫做平面α的法向量.

(3)用向量的常用方法:

①利用法向量求点到面的距离定理:如图,设n是平面α的法向量,AB是平面α的一条射线,其中A∈α,则点B到平面α的距离为|AB·n|/|n|.

②利用法向量求二面角的平面角定理:设n₁,n₂分别是二面角α-ι-β中平面α,β的法向量,则n₁,n₂所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小(n₁,n₂方向相同,则为补角,n₁,n₂反方,则为其夹角).

③证直线和平面平行定理:已知直线a≠不包含平面α,A·B∈a,C·D∈α,且CDE三点不共线,则a∥α的充要条件是存在有序实数对λ·μ使AB=λCD μCE.(常设AB=λCD μCE求解λ,μ若λ,μ存在即证毕,若,λμ不存在,则直线AB与平面相交).

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