已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC.
证明：
情况1：如图1，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：∵OA、OC是半径
图1
解：∴OA=OC
∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOC是△AOC的外角
∴∠BOC=∠BAC ∠ACO=2∠BAC
情况2：如图2,，当圆心O在∠BAC的内部时：连接AO，并延长AO交⊙O于D∵OA、OB、OC是半径
图2
解：∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠BOD=∠BAD ∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
∠COD=∠CAD ∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
∴∠BOC=∠BOD ∠COD=2(∠BAD ∠CAD)=2∠BAC
情况3：如图3，当圆心O在∠BAC的外部时：连接AO，并延长AO交⊙O于D连接OA,OB。
图3
解：∵OA、OB、OC、是半径
∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO（等腰三角形底角相等）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）
∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠DOB=∠BAD ∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
∠DOC=∠CAD ∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC
圆心角等于180度的情况呢？看情况1的图，圆心角∠AOB=180度，圆周角是∠ACB，
显然因为∠OCA=∠OAC
=∠BOC/2∠OCB=∠OBC=∠AOC/2
所以∠OCA ∠OCB
=（∠BOC ∠AOC）/2=90度
所以2∠ACB=∠AOB
圆心角大于180度的情况呢？看情况3的图，圆心角是（360度-∠AOB），圆周角是∠ACB，
只要延长AO交圆于点D，由圆心角等于180度的情况可知∠ACD=∠ABD=90度
根据情况3同理可证：∠BOC=2∠BAC=2∠BDC
根据情况1和情况3同理可证：∠AOC=2∠ADC=2∠ABC
所以∠ACB ∠ADB=∠ACB ∠ADC ∠BDC
=∠ACB ∠ABC ∠BAC=180度
即∠ACB=180度-∠ADB
由情况2可知：∠AOB=2∠ADB
所以360度-∠AOB=2（180度-∠ADB）=2∠ACB
定理推论1.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等。2.半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。3.圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角
