在本文中，我们将介绍矩阵的大部分基本运算，依次是矩阵的加减法、矩阵的标量乘法、矩阵与矩阵的乘法、求转置矩阵，以及深入了解矩阵的行列式运算。本文将不会涉及逆矩阵、矩阵的秩等概念，将来再探讨它们。
矩阵的加减法
矩阵的 加法 与 减法 运算将接收两个矩阵作为输入，并输出一个新的矩阵。矩阵的加法和减法都是在分量级别上进行的，因此要进行加减的矩阵必须有着相同的维数。
为了避免重复编写加减法的代码，我们先创建一个可以接收运算函数的方法，这个方法将对两个矩阵的分量分别执行传入的某种运算。然后在加法、减法或者其它运算中直接调用它就行了：
class matrix {
// ...
componentWiseOperation(func, { rows }) {
const newRows = rows.map((row, i) =>
row.map((element, j) => func(this.rows[i][j], element))
)
return new Matrix(...newRows)
}
add(other) {
return this.componentWiseOperation((a, b) => a b, other)
}
subtract(other) {
return this.componentWiseOperation((a, b) => a - b, other)
}
}
const one = new Matrix(
[1, 2],
[3, 4]
)
const other = new Matrix(
[5, 6],
[7, 8]
)
console.log(one.add(other))
// Matrix { rows: [ [ 6, 8 ], [ 10, 12 ] ] }
console.log(other.subtract(one))
// Matrix { rows: [ [ 4, 4 ], [ 4, 4 ] ] }
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矩阵的标量乘法
矩阵的标量乘法与向量的缩放类似，就是将矩阵中的每个元素都乘上标量：
class Matrix {
// ...
scaleBy(number) {
const newRows = this.rows.map(row =>
row.map(element => element * number)
)
return new Matrix(...newRows)
}
}
const matrix = new Matrix(
[2, 3],
[4, 5]
)
console.log(matrix.scaleBy(2))
// Matrix { rows: [ [ 4, 6 ], [ 8, 10 ] ] }
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矩阵乘法
当 A 、 B 两个矩阵的维数是 兼容 的时候，就能对这两个矩阵进行矩阵乘法。所谓维数兼容，指的是 A 的列数与 B 的行数相同。矩阵的乘积 AB 是通过对 A 的每一行与矩阵 B 的每一列计算点积得到：
class Matrix {
// ...
multiply(other) {
if (this.rows[0].length !== other.rows.length) {
throw new Error('The number of columns of this matrix is not equal to the number of rows of the given matrix.')
}
const columns = other.columns()
const newRows = this.rows.map(row =>
columns.map(column => sum(row.map((element, i) => element * column[i])))
)
return new Matrix(...newRows)
}
}
const one = new Matrix(
[3, -4],
[0, -3],
[6, -2],
[-1, 1]
)
const other = new Matrix(
[3, 2, -4],
[4, -3, 5]
)
console.log(one.multiply(other))
// Matrix {
// rows:
// [ [ -7, 18, -32 ],
// [ -12, 9, -15 ],
// [ 10, 18, -34 ],
// [ 1, -5, 9 ] ]}
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我们可以把矩阵乘法 AB 视为先后应用 A 和 B 两个线性变换矩阵。为了更好地理解这种概念，可以看一看我们的linear-algebra-demo。
下图中黄色的部分就是对红色方块应用线性变换 C 的结果。而线性变换 C 就是矩阵乘法 AB 的结果，其中 A 是做相对于 y 轴进行反射的变换矩阵， B 是做剪切变换的矩阵。
如果在矩阵乘法中调换 A 和 B 的顺序，我们会得到一个不同的结果，因为相当于先应用了 B 的剪切变换，再应用 A 的反射变换：
转置
转置矩阵 由公式 定义。换句话说，我们通过关于矩阵的对角线对其进行翻转来得到转置矩阵。需要注意的是，矩阵对角线上的元素不受转置运算影响。
class Matrix {
// ...
transpose() {
return new Matrix(...this.columns())
}
}
const matrix = new Matrix(
[0, 1, 2],
[3, 4, 5],
[6, 7, 8],
[9, 10, 11]
)
console.log(matrix.transpose())
// Matrix {
// rows: [
// [ 0, 3, 6, 9 ],
// [ 1, 4, 7, 10 ],
// [ 2, 5, 8, 11 ]
// ]
// }
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行列式运算
矩阵的 行列式 运算将计算矩阵中的所有系数，最后输出一个数字。准确地说，行列式可以描述一个由矩阵行构成的向量的相对几何指标（比如在欧式空间中的有向面积、体积等空间概念）。更准确地说，矩阵 A 的行列式相当于告诉你由 A 的行定义的方块的体积。 矩阵的行列式运算如下所示：
