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从初中开始，我们就开始接触三角函数了。初中的时候，三角函数是在直角三角形中定义的。直角三角形中一个锐角的对边比上斜边就是这个角的正弦值，而余弦值被定义为这个角的邻边与斜边的比值。

初中的定义，使得我们对三角函数的研究停留在锐角的范围内。到了高中，我们利用单位圆和有向线段把三角函数的定义域扩大到了可以取到任意实数。于是，三角函数成了实数R到实数R的函数。

然而，如果你真较真儿的看看以上中学阶段的两种定义的话，你会发现以上两种定义方式都离不开“画图”，而看图说话的方式依赖人的感觉——视觉，这不是一种数学意义上的严谨方式。再深入一点，单位圆和有向线段定义三角函数的方式，需要把角的大小对应成为实数，而对应实数的方式，要么用到某个扇形的面积，要么会用到圆上某段弧的弧长。然而，你在圆上截取的这部分扇形的面积，或者那段弧的弧长分别存在的理由是什么呢？奥，你会说我画出来了，看吧，它就是占了一块地方，或者就是一截长度——我相信是对的，但是这样的理由依然是感觉的，而非数学逻辑的。

如果，按数学严谨的逻辑应该怎么做呢。我们可以完全依照公理与逻辑从自然数理论（可以用ZFC或者皮亚诺公理导出自然数的相关理论），发展出有理数理论，再而发展处实数理论。理由实数的完备性的公理，发展处极限理论、微积分理论，再而级数和微分方程理论。这些基础，都可以只依赖于公理体系和形式逻辑，而不依赖与感觉。于是本文就用这些理论来定义三角函数，已经推倒三角函数的性质。——本文将用无穷级数定义三角函数。利用无穷级数或微分方程也是到目前为止，严谨的定义三角函数的最佳方案。

定义三角函数的核心也就是定义正弦和余弦函数，下面我们会围绕这个来展开讨论。

我们用级数来定义下面两个函数：

我们后面证明的公式，很多可以利用级数之间的四则运算直接得出(比如2sinx cosx = sin(2x)之类)，但是我们哆嗒君并不打算这样做，下面所有的关键推导，我们都尽量避开一些艰深的级数间运算的技巧，虽然那很直接（比如证明存在使得sinx小于0的x的时候，可以直接估计计算sin5,sin6之类），但是，对一些普通人来讲，那过于麻烦了。

1、 π的定义

上面两个级数对任意实数x都是收敛的。而且很容易看出sin0 = 0， cos0 = 1 。

另外我们也很容易得到上面两个定义后的函数的奇偶性，即是说：