一．概念描述

现代数学：对于一个整数a和一个整数b，如果存在一个整数q，使得a=bq成立，那么就说a能被b整除，或b能整除a。例如，15÷3=5，表示15能被3整除，记作3 | 15;或表示3能整除15。关于“除尽”的概念描述则一般不涉及。

小学数学：对于“整除”，2004年北京版教材第10册的第45页指出：整数a除以整数b(b≠0)，除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或b能整除a。

关于“除尽”则为：数a除以数b(b≠0)，所得的商是整数或有限小数而余数为0时，们就说a能被b除尽，或b能除尽a。例如1.4-2=0.7， 15÷3=5， 9÷4=2.25都表示除尽。

二．概念解读

整除是在整数范围里定义的概念。在小学里讲整除时，所说的数是指0以外的自然数。

一般来说，要想判断a能否被b整除，最直接的方法就是用a除以b，看是否有余数；或者看是否存在一个整数q，能使a=bq成立(a、b均为整数)。两种方法在本质上是完全一致的，只是前一种方法对于具体的数值运算是最直接有效的，而后一种方法更多地用于代数运算和抽象证明（只考虑q的存在性，而不考虑q的值是多少）。

整除和除尽这二者既有联系又有区别。整除是除尽的特殊情况。也就是说能整除的一定能除尽，而能除尽的不一定能整除。

整数的整除性问题，是数论中的最基本的问题。说到数论，它是一个历史悠久的数学分支，是研究整数的性质的一门学科。由于整数性质的论证具体，严格，富有技巧，它既容易使学生接受，又是培养学生逻辑思维和推理能力的一个有效途径。因此，了解一些整数的性质和整除性问题的解法是很有必要的。

整除的性质主要有以下几点。

(1) 和、差的整除性

如果a与b都能被c整除，那么a b与a-b也能被c整除。例如，15和9部能被3整除，那么15 9与15-9也能破3整除。

(2)积的整除性

如果a能被b整除，那么a的整数倍也能被b整除。例如，15能被3整除，那么15的2倍、3倍、4倍……也能被3整除。

(3)传递性

如果a能被b整除，而b能被c整除，那么a一定能被c整除。例如，24能被6整除，而6能被3整除，那么24一定能被3整除。

能被一个数整除的数的特征主要如下。

能被2整除的数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数都能被2整除。

能被3整除的数的特征：一个数各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除。

能被4或25整除的数的特征：一个数的末两位数能被4或25整除，那么这个数就能被4或25整除。

能被5整除的数的特征：个位上是0成5的数都能被5整除。

能被6整除的数的特征：一个数只要能同时被2和3整除，那么这个数就能被6整除。

能被7整除的数的特征：把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，差是7的倍数，则原数能被7整除。

能被8或125整除的数的特征：一个数的末三位数能被8或125整除，那么这个数就能被8或125整除。

能被9整除的数的特征：每一位上数字之和能被9整除，那么这个数就能被9整除。

能被11整除的数的特征：一个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除（包括差值为0），那么这个数就能被11整除。

能被7、11、13整除的数的共同特征：—个数的末三位数字所组成的数与末三位以前数字所组成的数之差能被7，11， 13整除，那么这个数就能被7、11、13整除。

三．教学建议

整除是数学知识单元的起始概念，是学习因数和倍数等概念的前提。从课前的调查中我们了解到，学生根据“整除” 二字的字面意义能猜想到整除应该与整数有关，与除法有关。绝大多数学生认为，只要商是整数的除法算式，它表示的就是整除的关系。由此看来，整除的概念对于学生来说是非常抽象的。

(1)注意利用学生已有知识经验

学生已经认识了自然数和小数，并掌握了自然数和小数的四则运算，这些是学生学习数的整除的知识基础。整除这个概念对于学生来说比较陌生，但整除的现象学生早在二年级学习除法时就已接触过，像12÷2=6, 45÷9=5等。学生对这样的除法算式非常熟悉，只是不知道像这样的除法算式表示的才是整除的关系。所以教学中教师要注意从学生已有的知识经验人手，抓住新旧知识的联系，让学生从一个新的角度重新去认识已经学习过的除法的知识，帮助学生理解整除的概念。

(2)注意放手让学生自主探究

有的教师认为“数的整除”这个概念是人为规定的，只要告诉学生就行了，没有必要让学生探究。其实数学的每—个结论都蕴含着它形成的过程，让学生经历这个结论的形成过程，有助于学生真正地理解和掌握知识。

教学中，教师可以先让学生列举出不同的除法算式，像8÷4=2，0.21÷0.3=0.7，2.1÷0 3=7，1÷0.5=2，21÷5=4……1，1÷4=0.25，10÷3=3……1，10÷6=1.666……。然后让学生说一说：你认为哪些除法算式表示的是整除的关系？哪些除法算式表示的不是整除的关系？你是怎么想的？使学生在观察、比较中，在相互交流的过程中，逐步理解“除尽”、“除不尽”以及“整除”等概念。

学生在交流的过程中，应注意鼓励学生要敢于质疑，敢于发表自己的见解，达到真理越辩越明的效果。有的学生在学习的过程中就提出：“0÷3 =0表示的是整除的关系吗？”“2.1÷0.3=7表示的不是整除的关系，如果把2.1和0.3同时扩大10倍后表示的是整除的关系吗？”学生提出的问题有的是教师想不到的，它不仅引发学生去思考，同时也会引发教师对问题的深思。只有这样，才能促使师生比较深刻、透彻地理解整除的概念。学生只有深刻、透彻地理解整除的概念，才能够比较轻松地掌握后续的其他概念。

四．推荐阅读

(1)《小学数学知识树》（刘开云、李燕燕，北京大学出版社，2008）

该书第一部分《数与运算》的第二章《数的整除》介绍了与整除和除尽有关的知识。

(2)《对“因数与倍数”教学内容的再思考》（丁国忠，《小学数学》，2008年第2期）

该文分析了因数和倍数相关概念之间的紧密联系及其对后续学习的重要意义，对因数和倍数在中小学阶段的重要功能进行了深入思考。

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