方程思想是中学数学最重要的思想之一,掌握方程思想可以帮助我们解决不少日常生活中的问题,而解方程就是对方程思想的最基本要求,也是中学数学考试的重点。本文和大家分享一道初中数学竞赛题。题目是:解方程x^3 x^2=392。
看到题目后,不少网友表示这题并不难。他们的做法如下:
因为x^3 x^2=392,
所以x^2(x 1)=392;
又392=2×2×2×7×7=8×7^2=(7 1)×7^2,
所以x^2(x 1)=7^2(7 1),从而解得x=7。也就是说原方程的解为7。
上面的做法对不对呢?答案对了,但是过程并不严谨。
这是一个一元三次方程,按理说应该有3个解,但是上面的解法只求出了1个解,并不没有说明为什么只有一个解。那么正确的解法应该是怎样的呢?
要解高次方程,因式分解是基本方法,所以我们首先将方程右边变为0,再进行因式分解。
接下来进行因式分解。
x的指数出现了立方和平方,所以可以考虑立方和、立方差公式,也就是说需要将392分解成某个数的立方与平方之和的形式。
如何找到这个数呢?分解质因数,即:
392=2×2×2×7×7=8×7^2=(7 1)×7^2=7^3 7^2。
所以方程就可以变形为:
x^3-7^3 x^2-7^2=0。
下面需要用到立方差公式进行因式分解。
下来看一下立方差公式:
a^3-b^3=(a-b)(a^2 ab b^2)。
对前面得到的方程分别用立方差和平方差公式分解因式,可以发现都出现了(x-7)这一因式,所以接下来再提公因式就可以彻底分解。
分解因式完成后,接下来只需要分类讨论即可。
①x-7=0时,x=7;
②x^2 8x 56=0时,因为△=64-224<0,所以此时没有实数根。
综合上面讨论的情况,原方程的解就是x=7。
对于第二种情况,有网友有不同看法。他们认为,既然是竞赛题,题目也没有说在实数范围内解方程,所以复数根也应该要算,否则很多竞赛题就没法做了。比如日本竞赛题:已知a^2 5a 25=0,求a^3的值。这道题a在实数范围内也是没有解的,所以竞赛题并不限定为实数。
这样的看法有一定道理,但是有两个问题需要注意。一是初中阶段各种数学题一般是默认在实数范围内;二是日本那道竞赛题考查的也不是解方程,也就是说我们不需要解出a的值同样可以得到答案,因为我们可以采取整体代入的思想。这道题却不一样,考查的就是解方程,所以默认实数范围内。
这道题就和大家分享到这里,你有好题也欢迎分享!