第82回
醉眼朦胧，千里之外订单来
修复烟窗，百米高空云端走
话说在望江楼上，江老板盛情有加，他频频敬酒，正当大家喝得正酣时，沙僧的微信提示音响了起来，他打开后用朦胧的醉眼瞄了一下，是千里之外的王老板发来定制模具的信息，信息中还夹带着如图1的一幅图，在图的下方写着这样一行字：OAB是扇形，圆心角∠AOB=60°，扇形半径为40cm，点C在弧AB上，CD⊥OA，垂足为点D。图中的阴影部分就是此次要求铸造的模具底面，模具的高为30cm。
沙僧毕竟是制模高手，虽然喝得有点醉了，但一看王老板的信息后马上就知道这个模具的底面是不确定的。他正准备给王老板打个电话问一下点C究竟在什么位置？
突然，八戒伸手过来把沙僧的手机夺了过去，并关掉了手机有点语无伦次地说，"喝，喝酒，专……专心喝……喝酒.明……明天再……再说."
第二天醒来后，沙僧猛然想起昨晚接到的信息，打开微信再次看了一下内容，在计算阴影部分面积时，觉得好像丢掉了什么条件似的，他打通王老板的电话问道："你好，王老板，发来的信息收到了，但有一点不明白，你得告诉我。"
"哪点不明白你说。"
"你在图1中，你只说点C是弧AB上的点，也没有告诉我点C应该满足什么条件，我怎么确定它的位置呢？"
"哦，真对不起。"王老板说，"点C应满足的条件是：必须使△OCD的面积最大。"
"好，知道了。"沙僧挂断电话后对八戒说，"二师兄，你帮我算算王老板这个模具的底面究竟如何确定它的形状和大小？"
"你把图纸给我看一下。"八戒看了一会儿图1后说，"模具的底面是曲边形，确定它的形状和大小的关键在于确定点C或点D的位置或∠AOC度数，使得△OCD的面积最大。这三者中只要有一者确定了，其他两者也随之确定。"
"如何确定这三者中的一者呢？"
"首先注意到△OCD的面积S=1/2·OD·CD，由于CD=√(OC2-OD2)，所以△OCD的面积S的大小决定于OD的长。"八戒说，"因此，要确定OD的长使得△OCD的面积S最大，先建立S与OD的函数关系式，再根据函数关系式的情况确定OD的长使得S的值最大。"
"二师兄，当点C运动到点B的位置时，CD最大，此时△OCD的面积S不是最大吗？"
"当点C运动到点B的位置时CD最大没错，但此时OD最小，这样就不能保证S=1/2·OD·CD最大了。"八戒说，"沙师弟你看，在点C从弧AB上的点A开始向点B运动过程中，△OCD的面积S虽然从0开始逐渐增大的，但不论何物不可能无限增大，就象房价虽然连续十几年年年涨高，但可能永远涨高吗？大树每年都在长高，可能长到天上去吗？不可能吧。"
"你虽然说的有道理，但似乎也见不到随着点C不断靠近点B，△OCD的面积S有逐渐减小的迹象啊？"沙僧不解。
"你的怀疑有点道理。"八戒进一步解释说，"如果我们把圆心角∠AOB的度数换作90°，那你说当点C与点B重合时，△OCD的面积S是多少？"
"此时点D与点O重合，O、C、D成一线，△OCD的面积S=0."沙僧终于恍然大悟，"二师兄你说的有理，按你说的方法如何求OD的长呢？"
"设OD=x，则由CD是高，OC=40，得
CD=√(40平方-x2) =√(1600-x2)，所以△OCD的面积为
S=1/2·x·√(1600-x2)……"
"这是什么函数？从未见过."沙僧问，"如何求它的最大值呢？"
"先把根号外的因式x移到根号内，得
S=1/2·√(1600x2-x4)……"
"还是从未见过这样的函数。"沙僧惊讶。
"我也不知道它是啥函数？"八戒说，"不管它是什么函数，模仿二次函数求最大值或最小值的方法，把它配方化为：
S=1/2√[-(x4-1600x2)……=1/2√[-(x2-800)2 6400]，
从被开方数可见，当x2=800时，S最大值=1/2√(0 6400) =40，
而当x2=800时，x=20√2，
因此，当△OCD的面积S最大时，OD=20√2。"
"二师兄，你还得帮我算算阴影部分的面积，以便确定这个模具的体积，好安排用多少钢铁下炉熔化。"
"图1中阴影部分的面积等于扇形OAC的面积减去△OCD的面积S。"八戒说，"已经知道S=40，只需要再求扇形OCD的面积就可以了。"
"求扇形的面积需要知道扇形的半径和圆心角∠AOC的度数，"沙僧说，"半径为40，圆心角如何求呢？"
八戒说："在Rt△OCD中，OC=40，OD=20√2，
所以CD=√(1600-x2) =20√2=OD，
所以∠COD=45°，
所以扇形OAC的面积为(45л×40平方)/360=200л，
所以阴影部分的面积为200л-40≈588，
所以该模具底面积约为588平方厘米."
当沙僧把计算结果送到炼炉车间时，车间主任告诉他，前几天新建的高120米，底面周长90米的圆柱形炼炉烟窗虽然已经初步完工、封顶，但今天技术工人作最后检测时发现有两个故障点需要修补，一个在烟窗外侧距离地面110米的点A处，另一个在烟窗内侧距离烟窗上沿70米的点B处.
为了尽快修复这两个漏洞点，以便早日投入使用，沙僧立马与专门从事高空作业的蜘蛛公司取得联系，对方回复他们的收费标准是按蜘蛛人在墙壁上爬行距离每米100元进行计算.
为了最大限度节省这笔费用，沙僧想为蜘蛛人指定一条最短的爬行路线，可他无从下手，于是请来了他的二师兄.
八戒到了现场观察了一下后绘制了如图2-1的图纸带回办公室和沙僧一起探讨，他肯定地说："修复点A处的漏洞，最短路线显然是沿经过点A的母线从底端直上爬行110米到达点A；修复完点A处的漏洞后，直接从点A出发爬行去修复烟窗内壁点B处的漏洞，点B处修复完后沿过点B的母线直上爬行70米到达烟窗顶端，再沿同一条母线直下120米到地面。"
"如果先修复点B处的漏洞再去修复点A处的漏洞所爬行的路线不也一样吗？"
"如果先修复点B处，最短的路线是沿过点B的母线从地上爬行120米到烟窗顶部，然后往烟窗内侧爬行直下70米到点B处，修复完后从点B处直接爬行去点A处，修复完后直下110米到地上。结果两条路线是一样的。"八戒说，"从地上到点A处和从点B处回到地上这两条最短路线是没问题的，问题是从点A处到点B处的最短路线是什么？"
"蜘蛛公司告诉我，如果我不能给他们指定爬行路线，他们从点A到点B的路线将是——"沙僧说，"从点A出发，沿母线爬行（120-110）=10（米）到达烟窗顶端C，然后沿烟窗顶端的半圆爬行45米到达点B这条母线的顶端，再沿这条母线往下爬行70米到点B。按照这个方案从点A到点B需要爬行10 45 70=125（米）。"
"这条路线很多人都可以想出来的。从点A到点B肯定还存在着一条比这短的路线……"
"太爷爷，我知道从点C到点B的最短路线。"未等八戒说完，猪小能不知何时来到身后打断他的话说，"我们的老师说过，解决立体图形问题要把它展开成平面图形。我知道从点A出发沿母线爬行到顶端后C，不要沿着半圆走，直接绕着烟窗内侧直达点B。"
"哎呀，我怎么把这个给忘了呢？从点A出发往B时，也不要沿着母线往上爬行，而应绕着烟窗外侧往上爬行到顶端的某个点，再从该点翻进去绕着烟窗内侧爬行到点B。"八戒说，"把圆柱沿过点B的母线展开成如图2-2，现在的问题就是要确定点A到点B的最短路线……"
"二师兄，A到B的最短路线不就是线段AB吗？"
"不！你忘了A在烟窗的外侧，B在内侧啦."八戒说，"要从A爬行到B，需要翻越烟窗的顶部边沿CG."
沙僧拍拍脑袋说："我真是急糊涂了。"
"三太爷，图2-2的问题是：在CG上确定一个点P，使得从点A到点P，再从点P到点B的距离之和最小。"
"小能说的对。就是要在直线CG上求作一个点P，使得PA PB最短。"八戒说，"这是个常见的问题，只需要先把点A以直线CG为对称轴变换到点A/。小能，你帮你三太爷算一下，从A到B这条最短路线的距离。"
"好的，太爷爷。"小能说，"作点A关于CG的对称点A/，连接A/B交CF于P.则折线AP—PB就是蜘蛛人从A爬行到B的最短路线.
因为AP=A/P，所以AP PB=A/B，
作BE⊥CD于E，
则BE=1/2×90=45，
A/E=CE A/C=CE AC，CE=GB=70，AC=120-110=10，
所以A/E =70 10=80，
所以A/B=√(45平方 80平方) =√8425≈92（米），
太爷爷，蜘蛛人从烟窗的外侧A处到达内侧B处的最短距离大约为92米."
"没想到光修复这两个漏洞就要花费（110 92 70 120）×100=39200（元）啊！"
欲知后事如何，请看下回分解.
