《孙子算经》是一本十分著名的中国古代数学典籍。除了非常著名的“鸡兔同笼”问题之外，其中还有一个广为流传的经典数学问题——“物不知数”问题。

什么是“物不知数”问题呢？相信大家一定都听过一个很著名的数学故事“韩信点兵”，此故事在很多书籍故事中都提到过。说在大战之后，韩信让士兵们列队然后清点人数。如果士兵们三人一组，那就会多出两个人来；如果按五个人一组，就会有三个人剩余；要是让七人一组的话，则又会多出两个人。这个问题的最终解决方法被称为孙子定理，也叫做“中国余数定理”或“中国剩余定理”。

用现代的数学语言来解释的话，中国剩余定理就是个一元线性同余方程组。解这个方程组最“笨”的办法就是穷举法。以“韩信点兵”问题为例，把所有小于105的自然数都试一遍，然后找到满足条件的自然数即可。

除以3余数为2 的数字有：2、5、8、11、14、17、20、23、26…

除以5余数是3 的数字有：3、8、13、18、23、28…

除以7余数是2的数字有：2、9、16、23、30…

可以观察到，三个条件都满足的最小正数是23，所以23是这个问题的一个答案。这个问题还有无穷多个其他的解。所有的解都可以通过23加上105的若干倍得到，105在这里是3、5、7的最小公倍数。

穷举法对求解简单的“物不知数”问题速度很快，但是在问题稍微复杂之后，计算量变得很大。《孙子算经》中给出的算法比穷举法进步一些，古代数学家程大位把《孙子算经》中的解法总结成一段口诀：

三人同行七十稀，

五树梅花二十一。

七子团圆正半月，

除百零五便得知。

翻译成白话就是：给定一个数，这个数分别除以3，5和7，得到的余数分别乘以70，21和15。最后把这些乘积相加，最终的结果与初始给定的数一定相差105的倍数。

“物不知数”问题开创了同余数研究的先河，但是它没有写明算法中出现的70，21和15是如何获得的，所以《孙子算经》并没给出求解此类问题的通用方法。

宋代数学家秦九韶在《数书九章》中第一次完整、详细的阐述了求解一次同余方程组的算法“大衍求一术”。“大衍求一术”通过特定方法求出了70，21和15三个数，并且阐述了求得的这三个数具备下面的性质：

70是5和7的公倍数，同时被3除余1；

21是3和7的公倍数，同时除以5余1；

15是3和5的公倍数，同时除以7余1；

所以，在求出70，21和15三个数之后，如果要寻找一个被3除余a，被5除b，被7除余c的数，其中的一个答案是70a 21b 15c，其它所有的答案都和70a 21b 15c相差105的整数倍。

《孙子算经》的“物不知数”问题和“大衍求一术”也是为数不多被世界广泛承认的中国古代数学成就之一。英国传教士伟烈亚力在1852年发表的《中国科学摘记》中系统的介绍了《孙子算经》“物不知数”问题和秦九韶的“大衍求一术”；1876年，德国数学家马蒂生首先指出 “大衍求一术”和数学王子高斯在1801年提出的一元线性同余方程组的通用解法等价；德国著名数学史家康托也高度评价了“大衍术”，并称赞发现这一方法的中国数学家是“最幸运的天才”。

来源：中国科学院数学与系统科学研究院