多年前有一本书《数字——破解万物的钥匙》，作者卡佳坦·波基斯特用风趣的漫画形式提出了一个问题：一块蛋糕切8刀，切成什么形状不管，问最多能够切成多少块？

2022年4月16日下午的ssy探索活动，清华附点招考试（小升初分班考试）试题看到了这样一道选择题：

18.空间4个平面最多可以将空间分割成多少个部分（ ）（2分）

A. 15 B. 12 C. 21 D.18

这两道题目是同一类型，溯源来自瑞士几何学家施泰纳对这个问题的研究。在解题之前，先简单介绍一下施泰纳其人。

瑞士几何学家施泰纳（Jakob Steiner,1796-1863），生于瑞士伯尔尼乌岑斯多夫，卒于德国柏林。

创立了“射影几何基本定理”的施泰纳，提出和解决了许多数学问题，事迹流传至今，让我们津津乐道。

他用5种纯几何方法解决极值问题，得出等周问题的解：在所有等周的平面图形中，圆的面积最大；它的逆定理也成立。要知道，用纯几何方法解决这个问题并非易事。

他给出了新的、优美的彭赛列-施泰纳定理的证明。这个定理说，所有用尺规作图法能够作出的图，都可以用直尺和已知固定的圆作出来。这个问题也称为施泰纳直尺问题，中外数学界对它的关注持续至今。

施泰纳-雷米欧司定理（内角平分线相等的三角形是等腰三角形）是欧几里得证不出的定理，现在已经有100多种证明了。第一个漂亮的纯几何证明就出自施泰纳之手。这个定理吸引了许多数学家和数学爱好者，也被我国数学家吴文俊在研究几何定理的机器证明中引用。

施泰纳在他的一本数学著作中提出了一个问题：如果x是正的变量，那么，当x取何值时，根式x开x次方的值最大？答案是e，近似值为1.445。

三角形中，有共点线的施泰纳定理，梯形有施泰纳定理，圆有施泰纳点，施泰纳圆，施泰纳定理，施泰纳圆系，立体几何有拉格朗日-施泰纳定理。

空间等周问题是平面等周问题在空间的推广，结论是：在体积相等的所有立体中，球具有最小的表面积；在表面积相等的所有立体中，球具有最小的体积。施泰纳用综合几何的方法证明了上述结论，而且还提出了好几种方法。但他的证明却预先假定了等体积立体中表面积最小者的存在性。

解析几何中，葛尔刚提出了葛尔刚-施泰纳问题，由施泰纳解决。

1827年，施泰纳得到了施泰纳轨迹定理。施泰纳的贡献虽然很多，但以上都不是本文的重点。接下来，重点介绍施泰纳的用平面划分空间问题。

有这样一个问题：用n张平面划分空间，最多能划分成多少部分？这个问题被称为施泰纳的用平面划分空间问题（Steiner problem of dissection space with planes）。

本题是施泰纳在题为《划分平面和空间的几个法则》的论文中提出的。

从易到难，先讨论平面划分问题。平面上n条直线，最多将平面划分成多少部分？

平面被k条直线划分，最多区域数记为Eₖ.

平面被k条直线划分时，可以先用k-1条直线划分，然后再添上第k条直线.第一步得到的区域数是Eₖ₋₁，第二步增加的区域数是k（因为第k条直线被原先的k-1条直线分成k段，且每一段都将原来的某个区域一分为二），故Eₖ=Eₖ₋₁ k（k=2，3，4，...）.又E₁=2，故

Eₙ=(Eₙ-Eₙ₋₁) (Eₙ₋₁-Eₙ₋₂) ... (E₃-E₂) (E₂-E₁) E₁

=n (n-1) ... 3 2 2

=½n(n 1) 1

现在讨论空间划分问题.

记空间被k张平面划分，其区域数的最大值为Fₖ.先用k-1张平面划分空间，最多有Fₖ₋₁个区域，接着添上第k张平面，它与原先的k-1张平面最多交于k-1条直线，而这k-1条直线将第k张平面划分成

Eₖ₋₁=½k(k-1) 1

块平面区域，每一块这样的平面区域把原先所在的一个空间区域分为两个，因此，当添上第k张平面时，相应地增加了Eₖ₋₁个空间区域，因此有递推关系

Fₖ=Fₖ₋₁ Eₖ₋₁，k=2，3，4，...

利用这个递推关系及F₁=2，可得

结论：用n张平面划分空间，最多能分得

个部分。

以上内容来自《数学名题词典》，本条目作者张文华。

现在我们可以用公式计算，得出答案了。

一块蛋糕切8刀，最多能切成93块。