证明1

√[2]=P/Q，2=P²/Q²→2Q²=P²，设P=2K，2Q²=4K²→Q²=2K²，P-Q>0，∵2不是平方数∴√[2]是无理数。

√[3]=P/Q，3=P²/Q²→3Q²=P²，设P=3K，3Q²=9K²→Q²=3K²，P-Q>0，∵3不是平方数∴√[3]是无理数。

√[5]=P/Q，5=P²/Q²→5Q²=P²，设P=5K，5Q²=25K²→Q²=5K²，P-2Q>0，∵5不是平方数∴√[5]是无理数。

√[(6)]=P/Q，6=P²/Q²→6Q²=P²，设P=6K，6Q²=36K²→Q²=6K²，P-2Q>0，√[(6)]是无理数。

√[7]=P/Q，7=P²/Q²→7Q²=P²，设P=7K，7Q²=49K²→Q²=7K²，P-2Q>0，√[7]是无理数。

√[8]=P/Q，8=P²/Q²→8Q²=P²，设P=8K，8Q²=64K²→Q²=8K²，P-2Q>0，√[8]=2√[2]是无理数。

√[10]=P/Q，10=P²/Q²→10Q²=P²，设P=10K，10Q²=100K²→Q²=10K²，P-3Q>0，……。

√[11]=P/Q，11=P²/Q²→11Q²=P²，设P=11K，11Q²=121K²→Q²=11K²，P-3Q>0，……。

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证明2

³√[2]=P/Q，2=P³/Q³→2Q³=P³，设P=2K，2Q³=8K³→Q³=4K³，P-Q>0，∵2不是立方数∴³√[2]是无理数。

³√[3]=P/Q，3=P³/Q³→3Q³=P³，设P=3K，3Q³=27K³→Q³=9K³，P-Q>0，∵3不是立方数∴³√[3]是无理数。

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