证明1
√[2]=P/Q,2=P²/Q²→2Q²=P²,设P=2K,2Q²=4K²→Q²=2K²,P-Q>0,∵2不是平方数∴√[2]是无理数。
√[3]=P/Q,3=P²/Q²→3Q²=P²,设P=3K,3Q²=9K²→Q²=3K²,P-Q>0,∵3不是平方数∴√[3]是无理数。
√[5]=P/Q,5=P²/Q²→5Q²=P²,设P=5K,5Q²=25K²→Q²=5K²,P-2Q>0,∵5不是平方数∴√[5]是无理数。
√[(6)]=P/Q,6=P²/Q²→6Q²=P²,设P=6K,6Q²=36K²→Q²=6K²,P-2Q>0,√[(6)]是无理数。
√[7]=P/Q,7=P²/Q²→7Q²=P²,设P=7K,7Q²=49K²→Q²=7K²,P-2Q>0,√[7]是无理数。
√[8]=P/Q,8=P²/Q²→8Q²=P²,设P=8K,8Q²=64K²→Q²=8K²,P-2Q>0,√[8]=2√[2]是无理数。
√[10]=P/Q,10=P²/Q²→10Q²=P²,设P=10K,10Q²=100K²→Q²=10K²,P-3Q>0,……。
√[11]=P/Q,11=P²/Q²→11Q²=P²,设P=11K,11Q²=121K²→Q²=11K²,P-3Q>0,……。
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证明2
³√[2]=P/Q,2=P³/Q³→2Q³=P³,设P=2K,2Q³=8K³→Q³=4K³,P-Q>0,∵2不是立方数∴³√[2]是无理数。
³√[3]=P/Q,3=P³/Q³→3Q³=P³,设P=3K,3Q³=27K³→Q³=9K³,P-Q>0,∵3不是立方数∴³√[3]是无理数。
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