例题4图

证明：

∵ △ABC 和 △CDE 都是等边三角形

∴ AC = BC , CD = CE , ∠ACB = ∠DCE = 60°

∴ ∠ACB ∠ACE = ∠DCE ∠ACE 即 ∠BCE = ∠ACD

在 △BCE 和 △ACD 中

∵ BC = AC , ∠BCE = ∠ACD , CE = CD

∴ △BCE ≌ △ACD （SAS）

5、添加辅助线与对应的线段相等

例题5、如图，已知 AD 是 △ABC 中 ∠A 的角平分线，AC = AB BD ，求证：∠B = 2∠C

例题5图

证明：延长 AB 取点 E ，使 AE = AC , 连接 DE

∵ AD 平分 ∠BAC ∴ ∠EAD = ∠CAD

∵ AE = AC , AD = AD

∴ △AED ≌ △ACD （SAS）

∴ ∠E = ∠C

∵ AC = AB BD ∴ AE = AB BD

∵ AE = AB BE ∴ BD = BE ∴ ∠BDE = ∠E

∵ ∠ABC = ∠E ∠BDE ∴ ∠ABC = 2∠E ∴ ∠ABC = 2∠C

6、二次证全等找到对应的线段相等

例题6、如图，已知 ∠A = ∠D = 90° ，AE = DE , 求证 ： △ABC ≌ △DCB

例题6图

证明：

∵ ∠A = ∠D ， AE = DE , ∠AEB = ∠DEC （对顶角相等）

∴ △AEB ≌ △DEC （ASA） ∴ EB = EC

∵ EB ED = EC AE ∴ DB = AC

在 Rt△ABC 和 Rt△DCB 中

∵ ∠A = ∠D = 90° ， AC = DB ， BC = CB （公共边）

∴ △ABC ≌ △DCB （HL）

三、对应角相等的情形：

1、公共角相等

例题7、如图，CA⊥BF 于点 A ，BE⊥CF 于点 E ，若 AC = BE ， 求证 ： △AFC ≌ △EFB

例题7图

证明：

∵ CA⊥BF ，BE⊥CF ∴ ∠CAF = ∠BEF= 90°

在 △AFC 和 △EFB 中

∵ ∠CAF = ∠BEF ，∠F = ∠F （公共角），AC = BE

∴ △AFC ≌ △EFB （AAS）

2、对顶角相等

例题8、如图，AE 和 BC 相交于点 M ，点 F 在 AM 上，∠CFM = ∠E ，BE = CF , 求证 ： △BEM ≌ △CFM