目录

• 什么是三角形?

• 三角形分类

• 三角形的性质

• 三角形的面积公式

• 生活中的三角形物品

• 三角形中的线段

• 三角形相关定理

• 勾股定理

什么是三角形?

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的封闭图形叫做三角形。

平面上三条直线或球面上三条弧线所围成的图形。

三条直线所围成的图形叫平面三角形;三条弧线所围成的图形叫球面三角形，也叫三边形。

三角形分类

(1)按角度分

a.锐角三角形:三个角都小于90度 。并不是有一个锐角的三角形，而是三个角都为锐角，比如等边三角形也是锐角三角形。

b.直角三角形(简称RT三角形):

(1)直角三角形两个锐角互余;

(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;

(3)在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半;

(4)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°;

(5)在直角三角形中，两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a2 b2=c2.

(6)(h为斜边上的高)，外接圆半径斜边上的中线，内切圆半径

(7)有一个角是90度的三角形，夹90度的两边称为“直角边”，直角的对边称为“斜边”。 (非直角三角形也称斜三角形，锐角三角形、钝角三角形都是斜三角形)

c.钝角三角形:有一个角为钝角的三角形 。钝角三角形有两条高在钝角三角形的外面,钝角为大于九十度且小于一百八十度

(2)按边长分

a.等腰三角形:两条边相等的三角形。又可分为三条边都相等的等腰三角形，即等边三角形，和只有两条边相等的等腰三角形。普通等腰三角形中，两条相等的边称为“腰”，第三边叫做“底边”，腰对应的角(称为底角)也是相等的。

b.非等腰三角形:三条边均不相等的三角形。

(3)特殊三角形

退化三角形:面积为零的三角形。

三角形的性质

1.三角形的任何两边的和一定大于第三边 ，由此亦可证明得三角形的任意两边的差一定小于第三边。

2.三角形内角和等于180度

3.等腰三角形的顶角平分线，底边的中线，底边的高重合，即三线合一。

4.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方--勾股定理。直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

5.三角形共有五心:

内心:三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。

性质:到三边距离相等。

外心:三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。

性质:到三个顶点距离相等。

重心:三条中线的交点。

性质:三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。

垂心:三条高所在直线的交点。

性质:此点分每条高线的两部分乘积

旁心:三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点

性质:到三边的距离相等。

6.三角形的外角(三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角)等于与其不相邻的内角之和。

三角形为什么具有稳定性

任取三角形两条边，则两条边的非公共端点被第三条边连接

∵第三条边不可伸缩或弯折

∴两端点距离固定

∴这两条边的夹角固定

∵这两条边是任取的

∴三角形三个角都固定，进而将三角形固定

∴三角形有稳定性

任取n边形(n≥4)两条相邻边，则两条边的非公共端点被不止一条边连接

∴两端点距离不固定

∴这两边夹角不固定

∴n边形(n≥4)每个角都不固定，所以n边形(n≥4)没有稳定性

三角形的面积公式

(1)S△=1/2*ah(a是三角形的底，h是底所对应的高)

(2)S△=1/2*ac*sinB=1/2*bc*sinA=1/2*ab*sinC(三个角为∠A∠B∠C，对边分别为a,b,c，参见三角函数)

(3)S△=√〔s*(s-a)*(s-b)*(s-c)〕 【s=1/2(a b c)】

(4)S△=abc/(4R)【R是外接圆半径】

(5)S△=1/2*(a b c)*r 【r是内切圆半径】

生活中的三角形物品

雨伞、帽子、彩旗、灯罩、风帆、小亭子、雪山、楼顶、切成三角形的西瓜、火炬冰淇淋、热带鱼的边缘线、蝴蝶翅膀、火箭、竹笋、宝塔、金字塔、三角内裤、机器上用的三角铁、某些路标、长江三角洲、斜拉桥等。

三角形全等的条件

注意:只有三个角相等无法推出两个三角形全等

(1)三边对应相等的两个三角形相等，简写为“SSS”。

(2)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“ASA”。

(3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“AAS”。

(4)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“SAS”。

(5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“HL”。

全等三角形的性质

全等三角形的对应角相等，对应边也相等。

多边形的内角与外角和

(1)N边形的内角和等于(N-2)。180°，N边形的外角和等于360°.

(2)正N边形的每个内角都等于[(N-2)×180°]÷N，每个外角都等于360°÷N。

(3)N边形从一个顶点出发有(N-3)条对角线，N边形共有N(N-3)÷2条对角线.

三角形中的线段

中线:定点与对边中点的连线，平分三角形。

高:定点到对边垂足的连线。

角平分线;定点到两边距离相等的点所构成的直线。

中位线:任意两边中点的连线

三角形相关定理

重心定理 三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.

上述交点叫做三角形的重心.

外心定理 三角形的三边的垂直平分线交于一点.

这点叫做三角形的外心.

垂心定理 三角形的三条高交于一点.

这点叫做三角形的垂心.

内心定理 三角形的三内角平分线交于一点.

这点叫做三角形的内心.

旁心定理 三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.

这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.

三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心.它们都是三角形的重要相关点.

三角形公式:

S(面积)=a(边长)h(高)/2---三角形面积等于一边与这边上的高的积的一半

勾股定理

在Rt三角形ABC中，〈A=90度，则

AB·AB AC·AC=BC·BC