比较大小，是数学学习中经常遇到的问题。最基础的比较方法，一是求两个数的差，通过差的正负判断大小。一个是求两个数的商，看商是否大于、等于或者小于1；当两个数都是正数的时候，商大于以1，则前面的数大于后面的数，如果都是负数，则结论相反。对于分数来说，分母相同看分子，分子相同看分母。当然最简单的问题，是依据正负号来判断，正数大于零，零大于负数。

这些都是很简单、很基础的知识，但是我们在学习中，不可能仅仅解决这么初级的问题。如，判断√18-√17 与 √17-√16的大小，无论求差，求商，都没法简单的判断大小。

这就需要掌握我们的思维武器了。前面也讲过，一是找“特殊”，二是“转化”。通过特殊，把未知的转化为已知的，把复杂的转化为简单的。

特殊的情况包括：和、差、余数，或者积为常数。而转化的方向就是变为分子相同、分母相同，等等。转化的方法，还是利用已有的知识，如，平方差公式。

下面具体讲一些案例。

1、等差：

例题1：28²-27²（ ）27²-26²

这道题硬算也可以，但是不够聪明。仔细观察，可以看到，括号两边，存在等差关系：28-27=27-26。而且算式的形式是平方差形式，这一点也应该一眼就能看出来。转化如下：

左面=（28 27）*（28-27）=（28 27）

右面=（27 26）*（27-26）=（27 26）

左右比较，可以得出：

28²-27²（ ＞ ）27²-26²

例题2：√18-√16 与 √17-√15

左右两边也具有等差关系和平方差公式特征，利用平方差公式，可以变换为分子相同的两个数，再判断大小。

左面=（√18-√17）*（√18 √17）/（√18 √17）=（18-17）/（√18 √17）=2/√18 √17）

右面=（√17-√15）*（√17 √15）/（√17 √15）=2/（√17 √15）

左右两边分子相同，但左边分母大于右面分母。所以，

√18-√16 （＞） √17-√15

例题3：25/28（ ）26/29

左右两个式子，分子分母都不相同，但具有相同的差：28-25=29-26，通过求差可以构造出分子相同的数。

1-25/28=3/27；

1-26/29=3/29；

3/27 ＞ 3/29，所以：

25/28（ ＜ ）26/29。

2、等和：

例题4：49*51（ ）48*52

49 51=48 52，左右两边因数的和相等。以两个因数的平均数50，构造平方差形式：

左边=（50-1）*（50 1）=50²-1

右边=（50-2）*（50 2）=50²-4

因此，49*51（ ＞ ）48*52

例题5：50*50（ ）48*52

本题在此不做详解了。但可以结合例题4，举一反三：周长相等的矩形，正方形的面积最大。

3、余数相等

例题6：111/1111（ ）1111/11111

左边的倒数=1111/111=10 1/111

右边的倒数=11111/1111=10 1/1111

可见，左边的倒数＞右边的倒数

因此，111/1111（ ＜ ）1111/11111

4、公式法：

由（a b)²≥0，可得，a² b²≥-2ab，或a² b²≥2ab

例题7：99² 101²≥2*99*10

例题8：如果a,b均为正数，那么,

a b( )2 √a√b

例题9：如果a,b均为正数，那么,

a/b b/a ( ) 2

5、构造中间数法

有时候，两个数之间无法直接比较，这时可以尝试构造一个共同的中间数，两个数分别与中间数比较，再得出结论。

例题10：

求证：

1/1² 1/2² 1/3²……… 1/n²＜2

解：

构造一个分母为相邻数成绩的多项式，然后求出这个多项式的极限值，作为中间数。

1/1² 1/2² 1/3²……… 1/n²＜1/1² 1/（1*2） 1/（2*3）……… 1/（n-1）/n

=1 1-1/2 1/2-1/3 …… 1/(n-1)-1/n

=2-1/n < 2

，故得证。