为便于书写，这里用A'表示矩阵A的转置矩阵，R表示矩阵的秩。

下面证明：R(AA')=R(A'A)=R(A)=R(A')。

方法工具：线性方程组的相关知识。

注：显然R(A)=R(A')，所以下面证明R(A'A)=R(A)且R(AA')=R(A')即可。

第一部分---R(A'A)=R(A)证明的思路如下：

要证R(A'A)=R(A)，只需证A'Ax=0与Ax=0这两个齐次线性方程组同解（这里x和0都是列矩阵，或者列向量）。（事实上，若它们同解，则它们解空间维数相同，所以由解空间维数=未知量个数-系数矩阵的秩，可得R(A'A)=R(A)。）下证它们同解：

假设y是Ax=0的解，则Ay=0，所以A'Ay=0；

反之，若y是A'Ax=0的解，则A'Ay=0，所以y'A'Ay=y'0=0，即(Ay)'Ay=0，所以Ay=0；

所以，A'Ax=0与Ax=0同解；

所以，R(A'A)=R(A)。

第二部分---R(AA')=R(A')证明的思路如下：

类似第一部分，要证R(AA')=R(A')，只需证AA'x=0与A'x=0这两个齐次线性方程组同解。下证它们同解：

假设y是A'x=0的解，则A'y=0，所以AA'y=0；

反之，若y是AA'x=0的解，则AA'y=0，所以y'AA'y=y'0=0，即(A'y)'A'y=0，所以A'y=0；

所以，AA'x=0与A'x=0同解；

所以，R(AA')=R(A')。