来源 | 选自《数学——科学和职业》，[俄]柯尔莫戈洛夫著，姚芳、刘岩瑜、吴帆编译，大连理工大学出版社，2021.3. 好玩的数学获授权转载。

初等数学与高等数学

笛卡尔的变量（数学)是 数学中的转折。由于有了变化，运动和辩证法进入数学之中并且微积分很快建立。

只有微分计算使自然科学不仅可以用数学刻画位置，而且可以描述过程：运动。

——恩格斯，《自然辩证法》

恩格斯的这段话所提到的数学中的转折发生于17世纪，那时，建立了数学科学的基础。这一转折的意义是伟大的，直到现代，由于这一转折而形成的数学分支——被称为《高等数学》，它区别于早些时候形成的《初等数学》。

高等数学中的一些基础概念已经进入到现代中学大纲之中，包括基本的实变量之间的函数关系和一些极限理论中的知识。在自然科学和技术中有着重要数学应用的微积分计算也已经是中学大纲范围的内容了。

在中学数学中，一般很少选择极限基础上的微积分初步，因为，一般来说，他们学习的材料需要进行选择，要符合经过一个比较短的引入性的解释之后马上用于解一些独立习题的需要，微积分初步的学习又需要比较长的系统学习。一方面，微积分方法的本质和意义不是我们所认为的那样。但是，另一方面，微积分方法的作用和它的本质在于，如果不理解它，就不可能体会到数学对于自然科学和技术科学的所有意义，乃至于不可能全地认识数学科学本身的美丽和迷人之处。

例如，在初等数学中，求出和证明一些比较复杂的图形的体积和表面积公式很困难，大家都知道，求棱锥的体积就会使学生感到很困难，推导出圆锥的体积公式，球 的体积公式和表面积公式更为复杂。最难的是，其中每一个公式的导出都有独特的方式，并且也不像几何教材中那些面积和体积习题的求法。然而，在认识微积分初步时，却以计算---例如所有旋转体的体积为统一，简单和完全自然的积分方式求解。在认识了积分后，任何其他求面积和体积的习题原则上并不难，它们都可以变为用确定方法可以解出的习题，就像在初等数学中，每一个类似上面的那种公式都是一个可以用独特方法证明的定理。

极大值和极小值类问题的初等解法是复杂的和很具技巧性的一类问题，如果学习了微分，所有这些一大堆不同而又细致的方法，其大部分完全都是多余的。而在高等数学中，此类问题却是很简单的。因为，在高等数学中，只需要认识微分初步中导数的概念，掌握一些简单函数的导数计算以及导数应用于极大值和极小值中的规则即可。

函数y=f(x)的导数从直观上看很简单，如果将x看成时间变量，那么f'就是相关变量y的速度。研究以时间为变量的变化过程时可以这样解释导数概念的基本意义。

在力学中就有那样的实例，就像伽利略引入的降落物体定律，求完全满足的解只能用高等数学中的方法。大家都知道，任意物体在t时间内自由落体的路程公式为(g为重力加速度），这个公式在中学物理中给出，有一些复杂和造作。但只要掌握以下内容，速度是走过的路程对时间的导数,而加速度是速度对时间的导数,再了解最简单的积分规则，进行一个很简单计算就可以推出：

物理和力学的大多数更复杂的问题中，被研究现象运动的基本定理，同样可以借助与被研究变量对时间导数有关的方程简单地表出，有关未知函数与其导数的方称为微分方程：

借助微分方程可以比较简单地指述万有引力定律作用下天体的运动定律，各种无线技术电路的工作原理，在各种力学结构中张力的分配规等等，那些方程解的研究也是自然和技术给数学提出的基本问题之一。

在高等学校之前在一定程上学习微积分就已经是比较难的，加上多少再推进一些分方程解的理论就更难了。但是，对数学感兴趣，被数学所吸引的人可以试着在中学毕业之前了解一些微积分的简单概念。无论如何，我们很多学者就是这样走进数学的，而且，对于其中一些人来说，正是因为学习了商等数学，使他们终于以数学作为了他们专业决策的依据。对于这一点，可以举出上面曾提到过的库让特(P Kyparr)和若宾斯(C.Poi6nHc)的书《什么是数学》 (Iro Taroe MaTexaTnKa.1947年)，或去读一些高等学校用的相比较而言易懂的教材。

对于决定不会从事这方面工作的人，上面的叙述可以帮助理解到，在进一步学习数学时，他面前的远景比他以前所想象的更宽广更有趣。(姚芳译)

注释

[1] 本文译自：柯尔莫戈洛夫. 论数学职业. 15-21页. (А．Колмогоров О профессии математика. 15-21.

[2]50年代末60年代初的苏联时期。——原书编者注。

[3]这篇文章写于1959年，当时的中学数学中还没有微积分的内容。——原节编者注。