• 封闭

“封闭”其实是理解本文最核心的一个概念。

封闭是建立在集合与二元运算的概念的基础之上的。

对于某个数集和某种运算，如果从该数集里面任意挑两个数，做二元运算所得到的结果仍然是这个集合中的数，就说该数集对于这个二元运算是封闭的。

比如举个最简单的例子，自然数集对加法就是封闭的，因为任意两个自然数相加的结果，还是一个自然数。而自然数集对减法运算不封闭，比如我随便就可以举出两个数来2和3，他俩都是自然数，但是2-3=-1，它就不是自然数了。

要回答本文提出的问题，就得从封闭这个概念来着手。

我们先来分析一下已知的集合对四则运算的封闭性。

• 自然数集N，对于加法运算和乘法运算都是封闭的，但是对于减法运算和除法运算不封闭。
• 整数集Z，对于加法运算，减法运算，乘法运算都是封闭的，但是对于除法运算不封闭。
• 有理数集Q，对于四则运算都是封闭的。
• 实数集R，对于四则运算都是封闭的。
• 复数集C，对于四则运算都是封闭的。

这里我想特别强调一下有理数集，有理数集对加减乘除4则运算都封闭，不是一件很明显的事情，我们需要有严格的证明。

所谓有理数就是可以写成两个整数之比的数，所以我们假设有两个有理数b1/a1，b2/a2，其中a1、b1、a2、b2都是整数，考察一下它们做四则运算的结果：

可以看出，四个运算结果依然都还是有理数，这就证明了有理数集对四则运算都是封闭的。

这里我想说的是，数学家们已经证明了：有理数集是对加减乘除四则运算都封闭的最小的数集。意思就是说任何比有理数还要小的集合，哪怕只比有理数集少一个数，就不再对加减乘除四则运算封闭了。

在抽象代数学中，我们把对加减乘除四则运算都封闭的集合称为一个数域(number field)，可以看出，实数集和复数集都是数域。而我们上面提到的结论就是：有理数集是最小的数域。换句话说，任何数域都包含有理数集作为它的子集。

分析完这些，我们就可以来看看无理数集了。我们会发现，无理数及对四则运算都不封闭。我们很容易就能举出例子来：

• 对加法：√2和-√2都是无理数，但是加在一起等于0，0不是无理数。
• 对减法：√2和-√2的例子可以看成是√2-√2，结果也是0。
• 对乘法：√2×√2，结果是2，2不是无理数。
• 对除法：√2÷√2，结果是1，1不是无理数。