分形图示例

20世纪60年代英国《科学》杂志刊载芒徳布罗的文章《英国海岸线有多长？》。这个看似不是问题的问题，仔细回味后却会令人大吃一惊：试想，除了能给岀如何估算的方法性描述外却无肯定的答案——海岸线长会随着度量标度（或步长）的变化而变化。

因为人们在测量海岸线长时（注意它是一条不规则曲线），总是先假定一个标度，然后用它沿海岸线步测一周得到一个多边形，其周长可视为海岸线的近似值：显然由于标度选取的不同，海岸线长的数值不一，且标度越细密，海岸线数值越大。

确切地讲，当标度趋向于0时，海岸线长并不趋向于某个确定的值而会变得无穷大（无穷不是数，而是一个极限过程）。

海岸线测量示意图

许多相关的分形会产生漂亮的令人感兴趣的图形，美国著名物理学家惠勒说：“可以相信，明天谁不熟悉分形，谁就不能被认为是科学上的文化人！”

05 用“彭罗斯瓷砖”填满无限

数学中“用有限来填满无限”是一个有趣的话题。20世纪70年代，英国物理学家（也是有时把数学作为娱乐消遣的数学家）彭罗斯开始有兴趣研究在同一张平面上用不同的瓷砖铺设的问题。

1974年，当他发表结果时，人们都大吃一惊。文中他确定了三类这种瓷砖（下称彭罗斯瓷砖），第一类两种分别为风筝形和镖形，它们是由同一个菱形剪出的；第二类是由边长相同、胖瘦不一的两种菱形组成的（有趣的是它们的面积比恰为0.618）；第三类则由正五边形、菱形、五角星形、黄冠形四种图形组成。

这种瓷砖的奇妙之处在于：用它们中的每一类皆可无重叠又无缝隙地铺满平面，同时铺设结构不具“平移对称性”，也就是说，从整体上看图形不重复。

更为奇妙的是，利用彭罗斯瓷砖进行铺砌时，还可从铺砌的图形中找出上述瓷砖自身的放大“克隆”。

06 莫比乌斯带

一张纸，一块布，你可以根据它们的形状区分它的正面和反面，可现实生活中是否存在没有正反面的曲面？

把一条长的矩形纸带扭转180°后，再把两端粘起来，这就成了一个仅有一个侧面的曲面（无正反面），它被人们称为莫比乌斯带，由德国数学、天文学家莫比乌斯在1858年发现。

莫比乌斯带的形成图示：矩形带扭转180°，两端粘起来，得到莫比乌斯带。

莫比乌斯带的出现，使人们对于正、反面概念有了新的认识。从另外的角度看，这种曲面是一条永远走不到尽头的（有限）曲面。

一支笔沿莫比乌斯带表面移动（不离开曲面），不久它又回到起点。