庞加莱是当代法国伟大的数学家、物理学家、哲学家、工程师，被誉为人类最后一个啥都懂的人，其学问达到了现象级的深度。庞加莱是一个自成一类的科学家，主导了他所处时代的数学与物理，对所有他投身其中的领域他都做出了重大贡献，其对相对论和量子力学的贡献都是奠基性的、一锤定音式的。庞加莱还是哲学家，其实用偶然主义对科学实践具有普遍的指导意义，而他的那些普及科学的优雅文字将持续影响着这个世界。
撰文 | 曹则贤（中国科学院物理研究所）
平庸的人关注非凡的事物，伟大的人关注平凡的事物。
——帕斯卡
1 引 子物理学有一个分类法是按照研究对象的多少划分的，包括单体问题、两体问题、少体问题和多体问题。近些年来，很多人的聊天词汇里多了个三体的概念。三体问题（three-body problem），一开始是个特别自然的天体物理问题：太阳-地球-月亮这样的靠万有引力相互作用的体系是否是稳定的？这是个标准的杞人忧天。三体的动力学问题没有闭合形式的通解，对于一般的初始条件都会表现出混沌行为（chaotic behavior）。混沌从此成了一个重要的交叉学科概念。这个概念出自法国伟大的数学家庞加莱的工作。1890年，庞加莱在一篇长达270页的论文里为三体动力学问题的解决提供了系统的思想和数学技术，还让混沌等概念成了社会性概念。
提起数学家，有个关于数学家判据的说法和庞加莱引理有关，非常有趣。如果有一个人睡得迷迷瞪瞪的，你一脚把他踹醒，问“什么是庞加莱引理？” 答不上来的，肯定算不上数学家。庞加莱引理（Poincaré’s lemma）有如此高的地位， 可用作数学家的判据，估计会让
定理不一定成立。在可收缩的域上，庞加莱引理保证闭合形式也必是精确的。这部分对于未学过高等数学的读者来说有点难度，可以跳过。读者需要记住的是，这个庞加莱引理的推论在物理学上有诸多应用， (引力、电磁的) 势理论，Stokes theorem，这些物理学至关重要的内容都与其有关。一般的物理教科书不走高深路线，不太提这些内容，但如果你熟悉这些内容，你在学数学物理的时候容易有豁然开朗的感觉。
庞加莱被誉为人类最后一个什么都会的学者（the last universalist），一个全面型的专家（universal specialist），他对数学、物理以及哲学的贡献是全面的、独特的。庞加莱是自成一类的学者。对庞加莱，笔者怀有无限的崇敬。
2 庞加莱小传庞加莱（Henri Poincaré，1854-1912），法国数学家、物理学家、工程师、哲学家，毫无疑问的polymath，被数学界称为最后一个啥都懂的人（图1）。他之后的希尔伯特也算数学啥都懂吧，但论物理就差太多了。法语维基百科词条比较谦虚，称其为最后的啥都懂大学者之一 (un des derniers grands savants universels)。庞加莱1854年出生于法国南希的一个大户人家，父亲是南希大学的医学教授。之所以说庞加莱家是大户人家，是因为这家人才辈出，其中他的一个堂弟Raymond Poincaré是法语学院的院士（fellow of Académie française），在1913-1920年之间是法国总统。与此可比的是热力学奠基人卡诺（Sadi Carnot，1796-1832），其父是巴黎工科学校的数学物理教授，后来他的一个侄子成了法国总统。
庞加莱小时候身体不好，由其母欧也妮（Eugénie Launois，1830–1897）亲自启蒙教育，1862年进入南希帝国学校（lycée impérial de Nancy，如今名为庞加莱中学校）上了11年学，各科全优，被数学老师称为数学大魔头。庞加莱1873年进入巴黎工科学校，1875年毕业。在巴黎工科学校，庞加莱跟着厄米特学数学，成绩依然优异并在1874年发表第一篇学术论文“面指标性质的新证明（Démonstration nouvelle des propriétés de l'indicatrice d'une surface）”。1875 -1878年间，庞加莱在巴黎矿业学校（École des mines）学习，1879年获得采矿工程师学位；同期从巴黎大学毕业，在厄米特指导下获得了科学博士学位，论文题目为“论由偏微分方程所定义之函数的性质（Sur les propriétés des fonctions définies par les équations aux différences partielles）”。具体说来，庞加莱这是发明了新方法研究偏微分方程的性质，他不仅研究这些方程可积的问题，还是第一个研究这些方程一般几何性质的人。
庞加莱的第一份工作是1879年在卡昂（Caen）大学当讲师。在那里，他得到了一个重要研究成果，是关于自守函数的。到1881年时27岁的庞加莱即已经确立了欧洲最伟大数学家的身份。1881年庞加莱转往巴黎大学，在1881-1882年间他发展了新的数学分支——微分方程的定性理论，对于某些微分方程在未加求解的情形下就可以获悉关于解的最重要的信息。1883-1897年间庞加莱在巴黎工科学校教授数学分析，1896年获得巴黎大学的数学天文学和天体力学的教席；在巴黎大学他占据的教席还包括力学，数学物理，概率论等。庞加莱备受法国学术界推崇，1886年即当选法国数学学会主席，1900年再次当选， 1902年又当选法国物理学会主席。1887年32岁的庞加莱入选了法国科学院（French academy of Science），1906年成为其主席；1908年庞加莱还当选法语学院（Académie française）的成员。法语学院也是法国学术机构（Institute de France，不要和法兰西学院，Collège de France，弄混了）下设的机构，是涉及法语事务的专门学术团体，始终保持40名成员的规模。1893年，庞加莱加入法国国家标准局，参与时间同步校准的工作，这份工作引导他考虑划分国际时区以及在运动物体间如何进行时间校准的问题，而这是相对论的关键。庞加莱还曾三次当选法国长度标准局（Bureau des Longitudes）主任。物理标准的建立是学（做）物理的起点，庞加莱的相对论成就与在标准局的任职有关~读者是否还记得爱因斯坦创立狭义相对论时是在瑞士国家专利局工作的。庞加莱以数学家、物理学家的身份闻名于世，但也一直没有放弃他矿业工程师的身份，1881-1885年他负责法国北部铁路的修建，1893年升为矿业集团主任工程师，1910年升为总监（inspector general）。
图1. 书房里的庞加莱
庞加莱比较著名的数学成就包括：
1. Automorphic functions, uniformization（自守函数，单值化）
2. The qualitative theory of differential equations（微分方程的定性理论）
3. Bifurcation theory（分岔理论）
4. Asymptotic expansions, normal forms（渐近展开，范型）
5. Dynamical systems, integrability（动力学系统，可积性）
6. Mathematical physics（数学物理）
7. Topology /analysis situs（拓扑）
8. Number theory（数论）
9. Algebraic geometry（代数几何）
至于天文与物理，庞加莱的成就包括提出了混沌理论，其对经典力学、流体力学、电磁学和光学的贡献可能不是很显著，但是对量子力学和相对论的建立其贡献确实奠基性的、一锤定音式的。
在庞加莱身后，法国科学院为他出版了11卷的文集（Œuvres publiées sous les auspices de l'Académie des Sciences），具体地：
Tome 1, Équations des différentielles（微分方程）
Tome 2, Fonctions Fuchsiennes（福克斯函数）
Tome 3, Équations des différentielles, Théorie des fonctions（微分方程，函数理论）
Tome 4, Théorie des fonctions（函数理论）
Tome 5, Algèbre, Arithmétique（代数，算术）
Tome 6, Géométrie, Analysis situs（几何，拓扑）
Tome 7, Principles de mécanique analytique, Problème des trois corps（分析力学原理，三体问题）
Tome 8, Mécanique céleste, Astronomie（天体力学， 天文学）
Tomes 9-10, Physique mathématique（数学物理）
Tome 11, Mémoires divers-livre du centenaire（各种纪念文章，百年诞辰纪念文集）
此外，庞加莱尚有大量关于各种数学和各科物理课程的讲义，比较有名的有《天体力学讲义》三卷等。
庞加莱还是数学、物理的普及者，为公众撰写了不少书目。庞加莱的部分著作目录如下：
1. Sur les propriétés des fonctions définies par les équations aux différences partielles : premiere these（论由偏微分方程所定义的函数的性质）, Gauthier-Villars (1879).
2. Les méthodes nouvelles de la mécanique celeste（天体力学新方法）, Gauthier-Villars, Tome 1, 1892；Tome 2, 1893；Tome 3, 1899.
3. La Science et l'Hypothèse（科学与假设）， Flammarion (1902).
4. La Valeur de la Science（科学的价值）， Flammarion (1905).
5. Cours d'astronomie Générale（普通天文学教程）, École polytechnique (1907).
6. Science et Méthode（科学与方法）， Flammarion(1908).
7. Savants et écrivains（学者与作家）， Flammarion(1910).
8. Ce que disent les choses（事如是说）, Hachette(1911).
9. Dernières Pensées（最后的思想）， Flammarion(1913).
鉴于庞加莱的学术地位与影响，他的著作大多都有多种语言的版本，如《科学与方法》《科学与假设》等还有中文版。
顺便说一句，和欧拉一样，庞加莱的眼神不好。
庞加莱首先是个职业数学家，涉猎了几乎所有的数学领域。其实，数学哪有什么领域。记得是希尔伯特说的，数学不分专业，只分会与不会。试图介绍庞加莱的数学成就超出本书的范围，尤其是超出作者的能力。此处摘取两个比较著名的例子给予简短的介绍。
