利用欧拉公式，这个等式可以写成

大家能不能看出来这实质上就是三角函数的和差化积公式。实际上，在以欧拉公式为背景之下

e^x的函数方程和三角函数的和差化积公式是等价的！

四，高观点下的欧拉公式

上一节讲过，欧拉公式可以看作单位圆上的匀速圆周运动。现在我们把欧拉公式和函数e^it看成是实数轴到单位圆的函数或映射。

直观上看，这种映射可以看作线环绕圆周

其实，实数轴和单位圆都是最特殊的李群。我们简单说明一下，首先实数有加法运算，有单位元0，还有加法运算的逆运算减法，而且这些运算都可以看成是二元光滑(无限可微)函数，这些性质大体上构成了李群的定义。类似地，所有模为1的复数(对应单位圆上的点)上有乘法运算，也是可逆的，也有单位元1，也满足光滑条件，所以也是一个李群。

根据e^x的函数方程，

所以函数e^it把实数的加法转化成单位圆上的乘法，因此欧拉公式可以理解为两个李群之间的同态，这是李群同态最简单的例子。(所谓的同态就是一个李群到另一个李群的光滑映射，把单位元映射成单位元，且把一个李群的运算转化成另一个李群的运算)

从拓扑的角度来看，欧拉公式所表示的实数轴到单位圆的映射其实是单位圆的万有复叠映射。这个万有复叠映射表明单位圆的基本群(一个拓扑不变量)是非平凡的，而这个事实是代数学基本定理的拓扑证明的基石。

实数轴到单位圆的这个映射还可以从李代数的角度来理解，这时，实数轴代表单位圆在单位元处的切空间。

这种映射可以推广到任意李群和李代数，不过我们只提一个简单的推广：行列式非零的n阶方阵群(运算是矩阵乘法)，和n阶方阵李代数。(注意单位圆上的复数可以看成是1阶方阵)

这个时候的映射是定义为：

n阶方阵→ 行列式非零的n阶方阵