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为什么学习梅涅劳斯定理(梅涅劳斯定理的最简单证明过程)

来源:原点资讯(www.yd166.com)时间:2022-10-29 02:05:09作者:YD166手机阅读>>

为什么学习梅涅劳斯定理,梅涅劳斯定理的最简单证明过程(1)

梅涅劳斯,Menelaus,有时称呼他为门纳劳斯 ,生活于公元一世纪。

他的经历不像其他数学家那样记载颇多。托勒密曾在《天文集》中记载了梅涅劳斯在公元98年的两次天文观测。而古希腊传记家普鲁塔克(著有《希腊罗马名人传》)在书中描述了梅涅劳斯和他人的对话,时间是公元75年,地点在罗马城。 后世帕普斯和普鲁塔克都称呼他为亚历山大的梅涅劳斯。

公元前146年希腊的亚历山大城被罗马人占领,古希腊的学者们虽然继续研究,但已经失去了他们的先辈,比如泰勒斯或欧几里德等等,那种气势雄伟,一往无前的创作精神,大家把兴趣转向天文学,理论几何慢慢衰落。

上一篇介绍的希帕恰斯出生于公元前200年,他创造了三角学这个词,200多年后梅涅劳斯把三角学发展到顶峰,使三角学脱离天文学,成为一个独立学科。

稍后几十年的托勒密把三角学发展到极致,其后1千多年保持不变。再以后就是晚个两三百年的数学家帕普斯总结前人的研究写出《数学汇编》。

梅涅劳斯,在天文学上有大成就,他证实了希帕恰斯的岁差现象的存在,而且很大可能编过星表,在帕普斯的书里提起过。

梅涅劳斯的诸多著作中只有《球面学》以阿拉伯文的译本形式流传下来,其后有各种校订本,著名的曼苏尔的修订本,现存于莱顿大学图书馆。

《球面学》全书共3卷,卷1主要是比较球面和平面三角形的异同,卷二主要是建立一些对天文学有用的命题,卷三才开始正式球面三角学的论述。第一个命题就是球面的“梅涅劳斯定理”,现在在平面几何和射影几何中有平面的“梅涅劳斯定理”,俗称“梅氏定理”。

这个定理不是梅氏发明,因为他在自己书里当作已知在使用,他证明的是推广。当时没有三角函数,只有希帕恰斯的弦表,所以他用的是弦长来表示的,因为后世不知道平面情形的出处,就统称为“梅涅劳斯定理”,因为关系到六个量,中世纪常称呼为“六量律”。

我们就不讨论球面三角形定理,说下平面三角形的梅涅劳斯定理吧。

内容如下:

为什么学习梅涅劳斯定理,梅涅劳斯定理的最简单证明过程(2)

如果一条直线和三角形ABC的三边或其延长线,分别相较于D,E,F,点,那么:

AD·BF·CE=DB·CF·EA

也可以写成其他形式:

为什么学习梅涅劳斯定理,梅涅劳斯定理的最简单证明过程(3)

DEF这条直线被称为梅氏线。梅氏线也可以完全在三角形外,三个交点都在延长线上。

这个定理可以对三角形中线段比例的计算,以及各种证明。类似的定理,还有塞瓦定理。

梅涅劳斯定理的逆定理同样成立,就是D,E,F分别是三角形三边或其延长线上一点,当

为什么学习梅涅劳斯定理,梅涅劳斯定理的最简单证明过程(4)

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