容斥原理的两套公式（容斥万能公式）

容斥原理在高中叫做“集合问题”，其难度中等且做题技巧性强，深受命题人喜爱，因此是行测考试中经常出现的一类题型。

纵观联考真题，容斥问题考的并不多，2009-2014年六年12套联考真题，总共出了2道容斥问题，分别是2012年421联考和2014年412联考。并不是说容斥问题出的少我们就可以忽略了，在2014年、2015年国考，以及2014年广东、浙江、河北等单独命题的省考中，容斥问题都曾出现，根据以往经验，国考一直是联考的风向标，且各省市相互借鉴，我们在复习备考联考时，容斥问题依然是重要的内容，掌握容斥问题的题型特征和做题方法是十分必要的。

一、容斥问题题型分类

第一类题型：两集合容斥原理公式：|A UB|=|A| |B|-|A∩B|=总个数- 两者都不满足的个数

第二类题型：（1）三集合容斥原理标准公式：|A UBUC|=|A| |B| |C|-|A∩B|-|B ∩C|-|C∩A| |A∩B∩C|=总个数- 三者都不满足的个数

（2）三集合容斥原理变形公式：|A UBUC|=|A| |B| |C|-仅满足两个条件的情况数|-2|A∩B∩C|=总个数- 三者都不满足的个数

容斥原理的两套公式,容斥万能公式(1)

注意 ② ：仅满足2种情况的个数

③ ：同时满足3种情况的个数

第三类题型：图示类题型，通常是在套用公式条件不足时采用，一般是文氏图，标数时从内向外标。

二、历年联考真题范例解析：

例1：（2012.421联考）54.某公司招聘员工，按规定每人至多可投考两个职位，结果共42人报名，甲、乙、丙三个职位报名人数分别是22人、16人、25人，其中同时报甲、乙职位的人数为8人，同时报甲、丙职位的人数为6人，那么同时报乙、丙职位的人数为：

A.7人B.8人

C.5人D.6人

解析：三集合容斥原理。根据公式：总个数- 三者都不满足的个数=|A UBUC|=|A| |B| |C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A| |A∩B∩C|。设同时报乙丙职位的人数为x。理解题意之后代入公式：42－0=22 16 25－（8 6 x） 0，得到同时报乙丙职位的人数x=7。因此，本题答案选择A选项。

例2：某单位利用业余时间举行了3次义务劳动，总计有112人次参加。在参加义务劳动的人中，只参加1次，参加2次和3次全部都参加的人数之比为5：4：1。问该单位共有多少人参加了义务劳动？

A.70B.80

C.85D.102

解析：根据题目条件，假设参加1次、2次、3次的人数分别为5X，4X，X。文氏图图示法，所以得知5X 4*2X 3*X=112，X=7，所以一共参加劳动的人数为70人。因此，本题答案选择A选项。

以上两道例题是联考中的真题，为了便于广大广大考生掌握容斥问题的这几类题型和做题技巧，故在此增加两道例题。

例3：某班有60人，参加物理竞赛的有30人，参加数学竞赛的有32人，两者都没有参加的有20人。同时参加物理、数学两科竞赛的有多少人？

A.28人B.26

C.24人D.22人

解析:根据两集合容斥原理标准公式，|A UB|=|A| |B|-|A∩B|=总个数- 两者都不满足的个数，设同时参加物理、数学竞赛的有X人，代入公式30 32-X=60-20，X=22。因此，本题答案为D选项。

例4：某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备选择两种考试参加的有46人，不参加其中任何一种考试的有15人。问接受调查的学生共有多少人?( )

A.120B.144

C.177D.192