圆的切线：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 .

一、圆的切线的判定及相关计算

1.如图，以 △ABC 的边 AB 为直径作 ⊙O，与 BC 交于点 D，点 E 是弧 BD 的中点，

连接 AE 交 BC 于点 F，∠ACB＝2∠BAE .

求证：AC 是 ⊙O 的切线．

例题1图

【分析】连接 AD，利用等弧所对圆周角相等及 ∠ACB＝2∠BAE 可得到 ∠BAD＝∠BCA，

再结合直径所对圆周角为直角即可得证．

证明：如解图，连接 AD.

例题1解图

∵ 点 E 是弧 BD 的中点，

∴ 弧 BE ＝ 弧 DE，

∴ ∠1＝∠2 .

∵ ∠BAD＝2∠1, ∠ACB＝2∠1，

∴ ∠ACB＝∠BAD.

∵ AB为 ⊙O 直径，

∴ ∠ADB＝∠ADC＝90°.

∴ ∠DAC＋∠C＝90°.

∵ ∠C＝∠BAD，

∴ ∠DAC＋∠BAD＝90°.

∴ ∠BAC＝90°，即 AB⊥AC.

又 ∵ AB 是 ⊙O 的直径，

∴ AC 是 ⊙O 的切线．

证明切线的常用方法：

1．直线与圆有交点，“ 连半径，证垂直 ”．

(1) 图中有 90° 角时，证垂直的方法如下：

① 利用等角代换：

通过互余的两个角之间的等量代换得证；

② 利用平行线性质证明垂直：

如果有与要证的切线垂直的直线，则证明半径与这条直线平行即可；

③ 利用三角形全等或相似：

通过证明切线和其他两边围成的三角形与含 90° 的三角形全等或相似得证．

(2) 图中无 90° 角时：

利用等腰三角形的性质，通过证明半径为所在等腰三角形底边的中线或角平分线，

再根据 “ 三线合一 ” 的性质得证．

2．直线与圆无交点，“ 作垂线，证相等 ”．

2.如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，⊙O 是 △ABC 的外接圆，点 D 在 ⊙O 上，且弧 AD＝弧 CD ,

过点 D 作 CB 的垂线，与 CB 的延长线相交于点 E，并与 AB 的延长线相交于点 F .

(1) 求证：DF 是 ⊙O 的切线；

(2) 若 ⊙O 的半径 R＝5，AC＝8，求 DF 的长．