例题2图

【解析】

(1) 证明：如解图，连接 DO 并延长，与 AC 相交于点 P.

例题2解图

∵ 弧 AD = 弧 CD，

∴ DP⊥AC.

∴ ∠DPC＝90°.

∵ DE⊥BC，

∴ ∠CED＝90°.

∵ ∠C＝90°.

∴ ∠ODF＝90°，而点 D 在 ⊙O 上，

∴ DF 是 ⊙O 的切线；

(2) 解：

例题2解图

∵ ∠C＝90°， R＝5，

∴ AB＝2R＝10.

在 Rt△ABC 中，根据勾股定理可得，BC＝6 .

∵ ∠DPC＋∠C＝180°，

∴ PD∥CE.

∴ ∠CBA＝∠DOF.

∵ ∠C＝∠ODF，

∴ △ABC ∽ △FOD.

∴ CA / DF = BC / OD , 即 8 / DF = 6 / 5 ,

∴ DF = 20 / 3 .

类型二、切线性质的相关证明与计算

3.如图，AB 是 ⊙O 的直径，AC 是 ⊙O 的弦，过点 B 作 ⊙O 的切线 DE，

与 AC 的延长线交于点 D，作 AE⊥AC 交 DE 于点 E .

(1) 求证：∠BAD＝∠E；

(2) 若 ⊙O 的半径为 5，AC＝8，求 BE 的长．

例题3图

【解析】

(1) 证明：

∵ ⊙O 与 DE 相切于点 B，AB 为 ⊙O 的直径，

∴ ∠ABE＝90°.

∴ ∠BAE＋∠E＝90°.

又 ∵ ∠DAE＝90°，

∴ ∠BAD＋∠BAE＝90°.

∴ ∠BAD＝∠E；

(2) 解：如解图，连接 BC.