最近看到李永乐老师分享的一道很有趣的数学题：一个自然数的个位数字是 4，将这个 4 移动到最左边，得到的新数恰好是原数的 4 倍。原数最小是多少？
这道题本身不难，只是小学三年级的难度，但据说使用一般解方程的方法则相当困难，但使用小学三年级的方法则相当简便。
于是，本人对原题进行了少许加难，并尝试对比小学三年级的解法以及高中解法的优劣。
问题一个自然数的个位数字是 4，将这个 4 移动到最左边，得到的新数恰好是原数的 4 倍。求符合条件的自然数？
小学三年级解法记满足条件的一个自然数为，则根据题意，的个位、十位、百位……分别与的十位、百位、千位……的数字相等，这意味着：
的尾数是 4，从而的尾数是；
进而的尾数是 64，从而的尾数是；
进而的尾数是 564，从而的尾数是；
进而的尾数是 2564，从而的尾数是；
进而的尾数是 02564，从而的尾数是；
进而的尾数是 102564，从而的尾数是。
至此我们找到了一个最小的解，但这个操作是可以继续进行下去的，可以用数学归纳法证明（略）满足题意的自然数形如：
即是以为一个单位重复多次的自然数。
高中解法令满足条件的自然数为，并且设是一个位数，则根据题意，我们有
即
模 13 得
经简单尝试，方程给出的最小解为，考虑到，所以通解为
由于，简单考察的范围可知
也即，说明确实是一个位数，是满足题意的。
从而本题的解为
两种方法的优劣小学三年级解法：
优点为，受众范围广，简单易懂，只涉及简单的数字推理，不涉及复杂的运算，即便是小学生也能使用，对未学过初等数论的读者来说比较友好。
缺点为，很难保证严谨性，有些容易懂的事实难以严谨叙述，比如：如何严谨证明解一定是形如的循环？是否要使用数学归纳法？如何严谨叙述没有其他可能的解？等等。
高中解法：
优点为，逻辑严密，叙述方便，因为使用的数学工具更高级，最后的解更方便表达。
缺点为，运算更多一些，涉及初等数论的少量理论，对没学过初等数论的读者来说不够友好。
本题就分享到这里，若有优秀的解法，欢迎分享在评论区。
