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【内容概述】抽屉原则的两种基本形式与简单应用,其中包括运用抽屉原则或着眼于极端情形的各种袋中取球问题.“抽屉”与“苹果”以较为明显形式给出的论证问题.
【典型问题】
挑战级数:★
1.在200位学生中,在同一个月过生日的最少有多少人?
[分析与解] 因为有12个不同的月份,200÷12=16……8,所以在同一月过生日的最少有16 1=17人.
挑战级数:★★
2.学校买来历史、文艺、科普3种图书若干本,每名学生从中任意借2本,那么最少在多少名学生中才一定有两人所借图书的种类完全相同?
[分析与解] 注意到,6名学生可以将所有的可能借一遍:
(历史,历史),(文艺,文艺),(科普,科普),(历史,文艺),(历史,科普),(文艺,科普) .
所以第7名同学不管他怎么借,都在这6种情况之列.
所以最少在7名学生中才一定有两人所借图书的种类完全相同.
挑战级数: ★★★
3.一次智力竞赛,试卷上出了10道选择题,评分标准为:每人有10分基础分,每答对一题加4分,答错一题扣1分,不答的题不加分也不扣分.为了要保证至少有3人得分相同,则最少有多少人参加竞赛?
[分析与解] 如果全部做对可以得到10 10×4=50分,全部做错将得到10-10×1=0分,那么是不是50~0分之间所有的分数都能得到呢?
注意到49,48,47,44,43,39这6种分数得不到,于是共有51-6=45种不同的得分.
如果每种分数都有2个人得到,则需90人,那么第91个人的分数一定在45种分数之列,这样就一定有3人得到的分数相同.
所以,为了保证至少有3人得分相同,则最少有91人参加竞赛.
挑战级数:★
4.盒子中有10个红球、10个白球和10个绿球,它们的大小都相同.如果闭上眼睛,一次最少要取出多少个才能保证其中必有3个颜色相同的球?
[分析与解] 闭上眼睛,最不利的情况,前6个,将3种颜色的球各取了2个,那么第7个取出的球不管是何种颜色,一定和某两个球的颜色相同.
所以一次最少要取出7个才能保证其中必有3个颜色相同的球.
挑战级数:★★
5.一个布袋里有大小相同颜色不同l的一些木球,其中红色的有10个,白色的有9个,黄色的有8个,蓝色的有3个,绿色的有1个.那么一次最少要取出多少个球,才能保证有4个颜色相同的球?
[分析与解] 我们知道取出3个红球,3个白球,3个黄球,3个蓝球,1个绿球,此时仍然没有4个相同颜色的球,取出了3 3 3 3 1=13个球.
但是取出第14个球时,不管这个球是红色、白色还是黄色的,都有3个球的颜色与其相同.
所以一次最少要取出14个球,才能保证有4个颜色相同的球.
挑战级数: ★★★
6.暗室里有红、绿、蓝、黄、白5种颜色的袜子各50只,为确保从室内取出l0双袜子(两只袜子颜色相同即为一双),那么应从室内取出袜子的最少只数是多少?
[分析与解] 我们知道取出红色5只,绿色5只,蓝色5只,黄色5只,白色3只,此时只有9双袜子,此时有5 5 5 5 3=23只袜子.
但是第24只袜子不管取的是颜色,都能与上面的袜子在拼成一双.
所以,最少应从暗室中取出24只袜子,保证其中必有10双袜子.