高数教材上有一道运用麦克劳林公式的练习题，要将lg11精确到10^(-5)。老黄在学习的过程中，发现教材给的参考答案并不十分严谨。为了使答案变得严谨，老黄可谓煞费苦心， 因此还探究了一个“倒数更精确原理”，并探究了ln10的十万分位近似数。特别是“倒数更精确原理”的探究，没少受聪明的网友们的奚落和鄙夷。不过这些都不能打击老黄探究数学的热情。下面老黄先介绍教材的解法，并指出其中不严谨的地方，然后再运用老黄探究的两个结果，来使它变得更加严谨。

请运用麦克劳林逼近法，将lg11精确到10^(-5).

解：lg11=1 lg1.1=1 lge^(ln1.1)=lge*ln1.1,【先转化成含有ln1.1的式子，通过求ln1.1的近似数，来得到lg11的近似数。因为直接求lg11的近似数，在这里行不通，就是直接求lg1.1的近似数，也是相当麻烦的】

又ln(1 x)=x-x^2/2 …… (-1)^(n-1)x^n/n (-1)^nx^(n 1)/((n 1)(1 θx)),(0<θ<1,x>-1).【这是常用的麦克劳林公式之一，求对数的精确值，基本上都要转化成这个公式的运用问题，当x=0.1时，得到的就是ln1.1, 而这里的x取值一旦超过0.5，就会产生问题，因为x越大，需要取的n就越大，而一旦超过0.5，n就取不到适当的值】

当x=0.1时，要使|lgeRn(0.1)|<|(-1)^nx^(n 1)/((n 1)(1 θx))|<|0.1^(n 1)/(n 1)|<10^(-5), 【将一个数精确到10^(-5),其实指的就是它的余项要小于10^(-5)】

只要取n=5, 则lg11约=1 lge(0.1-0.01/2 0.001/3-0.0001/4 0.00001/5)约=1.04139. 【检验正确】

不知道您发现这个过程中不严谨的地方了没有。那就是lge其实并不是一个已知的量，它也需要通过麦克劳林公式来求近似数。如果用计算器求，那不如直接用计算器求lg11. 如果要再次运用麦克劳林公式求lge，就相当麻烦，其难度远超求ln1.1的近似数，而且精确度要怎么保证呢？

其实lge是ln10的倒数，由于常用对数函数lgx的导函数中，分母包含系数ln10，所以求ln10的近似数对这类问题很重要。因此老黄觉得ln10应该当做一个常数来用。

老黄上一个视频就求得ln10的近似数是2.30259. 因此lge的近似数是0.43429. 因为ln10>1，根据“倒数更精确原理”，lge的精确度比ln10更高。这就可以通过纯笔算，计算出lg11精确到十万分位的近似数了。

数学这个东西，它的精粹在于不断地探究，而不在于评价问题的难易程度。所谓愚者千虑必有一得。老黄相信只要继续努力探究，总有一天会有所得的。