1.若47^100是168位数，问47^17是几位数？

解：因为47^100是168位数，所以

167<=lg47^100=100lg47<168,

1.67<=lg47<1.68,

28.39<=17lg47<28.56.

故lg47^17的首数是28, 47^17是29位数。

2.已知：0.301029<lg2<0.301030,

0.477120<lg3<0.477121,

求：2000^1989的首位数字。

解：为了求大于1的整数T的首位数字b,且b(1<=b<=9),则先确定它的位数n,然后由

b•10^(n-1)<=T<(b 1)•10^(n-1),即

(n-1) lgb<=lgT<(n-1) lg(b 1)定出b的值。

lg2000^1989=1989(3 lg2).又因为

0.301029<lg2<0.301030,所以

6565.746681<lg2000^1989

<6565.748670.

因此，2000^1989是6566位数。又因

0.746681>1-0.301030>1-lg2=lg5,

0.748670<0.301029 0.477120<lg2 lg3

=lg6,所以

6565 lg5<lg2000^1989<6565 lg6.

故此2000^1989的首位数字是5.

3.已知x与y都是正整数，它们的常用对数的尾数之和等于1,(x^2)y的常用对数的首数是3,求：x,y的值。

解：可令lgx=a m, lgy=b n.

由于x,y是正整数，可知首数a,b都是非负整数。尾数m,n满足0<=m<1,0<=n<1,由题意可设m n=1,故此m,n都是正的纯小数，所以

lg[(x^2)y]=2lgx lgy=2a 2m b n

=(2a b 1) m.

因为0<m<1,故此2a b 1是lg[(x^2)y]的首数，因而2a b 1=3,即2a b=2.所以，只能有：a=0,b=2,或a=1,b=0.

当a=0,b=2,由lgxy=a b m n=3,得xy=1000.此时x是一位数，y是三位数，所以有四组解：

第一组：x=2,y=500;第二组：x=4,y=250;第三组：x=5,y=200;第四组：x=8,y=125.

当a=1,b=0,则lgxy=2,xy=100,由于x是二位数，y是一位数，此时有三组解：

第一组：x=20,y=5;第二组：x=25,y=4;

第三组：x=50,y=2.

4.已知lgx,lg100/x的首数分别是a和b,当x取遍所有正数时，3a^2-4b^2的最大值是多少？

解：设lgx=a m,lg100/x=b n(0<=m,n<1)

则a b m n=lgx lg100/x=2,

故此m n是整数.由于0<=m n<2,所以，m n等于0或1.

当m n=0时，则a b=2,于是

3a^2-4b^2=3a^2-4(2-a)^2=-(a-8)^2 48

所以，当a=8时，3a^2-4b^2有最大值48，此时x=10^8.

当m n=1时，则a b=1,于是

3a^2-4b^2=3a^2-4(1-a)^2=-(a-4)^2 12

故此当a=4时，3a^2-4b^2有最大值12,此时10^4<=x<10^5.

综上所述，当x=10^8时，3a^2-4b^2有最大值48.