乘法与加减法的混合运算

每一个运算生成的表达式，都表示某一个数。就可与另外的表示数的式子或数再进行运算，构成另一个表达式。

现已学过三类运算。就可构成更复杂的表达式。

２与３×４的积相加。用表达式表达出来，如下：

２＋（３×４）＝２＋１２＝１４.

后来。发现这里的括号可以省略。只需规定：既有乘法又有加减法的表达式。先计算乘法。所有乘积算完之后。再按多项式的规r则进行随后的运算。这样一来可少书写两个括号。能提高效率。

２＋３×４＝２＋１２＝１４.

如果，还是依次从左向右运算，

２＋３×４＝５×４＝２０.就是错误结果。

先运算乘法，再算加法。中国传统说法：在没有括号的表达式内，先乘除后加减。（算完乘除之后，再按多项式的恒等变形规则运算。）

全由乘号构成的表达式，称为单顶式。一个加减号，构成的式子，称为二项式。二个加减号，称为三项式。

第二类陈述表达式的运算规则。多项式中，存在单项式时，先分别计算每一个一项式。再按多项式恒等变形规则计算。

例，求３×５＋７×６－８×４。

这个式子中共有两个加减号。是一个三项式。每一项都是一个单项式。

解，３×５＋７×６－８×４

　　＝１５＋４２－３２

　　＝５７－３２

　　＝２５

又解。３×５＋７×６－８×４

　　＝１５＋（４２－３２）

　　＝１５＋１０

　　＝２５　。

　　乘法对加（减）法的分配律

　　两个乘积构成的二项式，两个乘积中，有一个因素是相同的。例如，５×３＋３×４。写规范一点，好找规律。５×３＋３×４＝５×３＋４×３。

　根据乘法定义，是５个３连加，再加，４个３连加。就是（５＋４）个３连加。

　５×３＋４×３＝（５＋４）×３＝２７　。

这个关系带有一般性：如果，　两个乘积构成的二项式，两个乘积中，有一个因素是相同的。

则二项式之值＝（不同的两个因数相加的和）×相同的那个因数（之一）。

设用ａ，ｂ，ｃ分别表示一个自然数。则存在恒等式：

ａ×ｃ＋ｂ×ｃ＝（ａ＋ｂ）×ｃ　　。

这个恒等式表达出的数量关系，称为乘法对加法的分配律。

当ａ×ｂ不能用乘法表完成计算时。把其中一个分成两个数之和、每一个加数都可与另一个用乘法表计算。

例，４７×８＝（４０＋７）×８＝４０×８＋７×８

＝３２０＋５６＝３７６.

例二，４７×８５＝（４０＋７）×８５

＝４０×８５＋７×８５

＝４０×（８０＋５）＋７×（８０＋５）

＝４０×８０＋４０×５＋７×８０＋７×５

以上四项式中，每一个单项式都可用乘法表计计算出来了。

＝３２００＋２００＋５６０＋３５

写成竖式来加　　　　　　３５　

　　　　　　　　　　　２００

　　　　　　　　　　　５６０

　　　　　＋　　　　３２００

　　　　　　　　　　３９９５

还可通过竖式相乘再简化。数位相同的积，即时相加。位置表示数位。省略了不必书写的０。

　　　　　　　４７

　　×　　　　８５

　　　　　　２３５　

　　＋　　　３７６

　　　　　　３９９５

例三，９９９×８

＝（１０００－１）×８

　　　　　＝８０００－８

　　　　　　　＝７９９２　。