金字塔展开图

金字塔与等底等高的长方体是什么关系呢？先别急着回答，考虑一下这个问题的难度还能不能再降低？

可以继续简化问题。等底等高的三棱柱和三棱锥体积之间有什么数量关系呢？

三棱柱体积很好计算，底面积是一个三角形面积，乘以高就得到体积了。三棱锥呢？请看下图：

切分三棱柱

一块三棱柱蛋糕可以用刀如图切成三个全等的三棱锥，于是得到下面的结论：

三棱锥的体积是同底同高的棱柱体积的1/3。

而且还可以此类推，金字塔的体积是同底同高的长方体体积的1/3。还可以继续以此类推，底面是正多边形的正棱锥体积是同底同高的正多边形柱体体积的1/3。

为什么呢？因为正多边形可以分为几个全等三角形啊。

再继续推理，得到结论：

圆锥的体积等于同底同高的圆柱体积的1/3。

这又是什么道理呢？

有两种解释，先说第一种。

我们知道。圆锥和同底同高的圆柱体积之间有数量关系。我们暂时还不知道这个体积比是多少，就假设他们之间的比例为k。

圆锥体体积：圆柱体体积=kπr²h：πr²h=k

六年级小学生知道比和比例，也会化简比。所以把这个比化简为：

圆锥体体积：圆柱体体积=kr²h：r²h=k

小学生都能看懂。相当于一个分数，分子和分母都同时乘以π的倒数，就消去π了。

我们知道，与圆有关的公式有π，把π消去再一看，这不是变成底面是正方形的长方体体积公式了吗？

而前面我们已经论述了三棱锥的体积是同底同高的棱柱体积的1/3，所以现在我们知道k=1/3。

于是得到了圆锥体体积公式：

V=1/3 πr²h

现在我们用第二种方法来解释以此类推的数学原理。

这要从祖暅原理或者是卡瓦列里原理说起。

祖暅原理，又名等幂等积定理，内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。祖暅之《缀术》有云：“缘幂势既同，则积不容异。

在西方，直到17世纪，才由意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri.B,1589-1647)于1635年出版的《连续不可分几何》中，提出了等积原理，所以西方人把它称之为“卡瓦列里原理”。其实，他的发现要比我国的祖暅晚1100多年。

祖暅[gèng]（456年—536年），一作祖暅之，字景烁，范阳遒县（今河北涞水）人。中国南北朝时期数学家、天文学家，祖冲之之子。同父亲祖冲之一起圆满解决了球体积的计算问题，得到正确的体积公式，并据此提出了著名的“祖暅原理”。

小学数学课堂如何讲解祖暅原理？最简单的方法是用若干本一模一样的书摞在一起，形象化演示。

祖暅原理告诉我们：等底同高的棱锥体积相等。祖暅原理只要求平行截面的面积相等，不要求这些截面的形状相同。所以，根据祖暅原理，同底同高的圆锥体和金字塔体积相等，从前面的论述知道，同底同高的圆锥体与圆柱体体积之比为1:3。

还有没有别的方法证明圆锥体体积公式呢？请看相关链接：【怎样计算直角三角形重心到直角边的距离？ - 今日头条】https://m.toutiao.com/is/eAFR1a3/

这个链接告诉我们，怎样用帕波斯定理计算旋转体体积，推导出旋转体体积公式。虽然有一定的难度，但是这才是学习数学的正确姿势之一。

祖暅原理威力巨大，掌握了它，解决球体体积也不是难事。

现在，我们可以走得更远，推导出球体体积公式。按照一贯的转化的数学思想，我们考虑一下怎么降低问题的难度。球体不好算，就先考虑半球是什么情况。请看下图：

半球对比等底同高圆柱体

如图所示，在相同的高度平行底面得到的截面积如何计算呢？

左右两边的截面都是圆，但是面积不同。半球的截面积需要计算图中的x，需要使用勾股定理。

根据勾股定理，x²=r²－h²，于是得到截面面积=π(r²－h²)

右边的圆柱体的截面面积等于底面积，在圆柱体中构造一个倒放的等底同高的圆锥体，观察上图，我们发现：

同高度的圆锥体，球体和圆柱体的截面分别是小圆，中圆和大圆。而且，大圆－小圆=圆环=中圆

现在我们来证明。

圆锥体的截面一个方向是圆，垂直于这个方向的截面是等腰三角形。这个等腰三角形底边=d=2r，高=h=r，底边上的高把这个等腰三角形分为两个全等的等腰直角三角形，直角边=r。因为平行于三角形底边的直线截的小三角形与原来的三角形是相似三角形，所以小圆的半径r=高h。

圆环的面积=大圆－小圆。恰好等于：

πr²－πh²=π(r²－h²)

于是证明了圆环面积=球体截面面积=中圆面积。而圆环面积=圆柱截面面积－圆锥截面面积。我们知道，相似三角形对应线段成比例，所以不论截面高度如何变化，球体截面面积=圆柱截面面积－圆锥截面面积的数量关系不变。

根据祖暅原理，当然有球体体积=圆柱体积－圆锥体体积。

前面论述了圆锥体积：圆柱体体积=1：3，由此可见，圆锥体积：球体体积：圆柱体体积=1：2：3

一个半球的体积=2个圆锥体体积，所以球体体积=4个圆锥体体积，所以推导出球体体积公式：

V=4/3 πr³

总结一下：请看下图

排水法的启示

阿基米德说：任一球体的体积等于底面积为球体最大圆面积，高为球体半径的圆锥体体积的4倍。

写成公式就是：

V=4/3 πr³=π/6D³

注意，D代表直径。