例4 四边形ABCD是正方形，∠MAN=45°，它的两边AM、AN分别交CB、DC与点M、N，连接MN，作AH⊥MN，垂足为点H。

(1)如图1，猜想AH与AB有什么数量关系？并证明。

(2)如图2，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，且BD=2，CD=3，求AD的长。

五、综合运用

1.计算。利用矩形、菱形、正方形中的等腰三角形和直角三角形进行计算。

2.证明。利用矩形、菱形、正方形的性质和判定，结合全等三角形、等腰三角形、等边三角形的知识展开证明。

3.探究。利用矩形、菱形、正方形等知识展开探究。

例1 在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．

(1)小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．

(2)如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长．

(3)如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出△GHE与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由。

例2 现有两个具有一个公共顶点的等腰直角三角形△ADE和△ABC，其中∠ACB和∠AED=90°，且AC=BC，AE=DE，CF⊥AB于F，M为线段BD中点，连接CM，EM.

(1)如图1，当A、B、D在同一条直线上时，若AC=1，AE=2，求FM的长度；

(2)如图1，当A、B、D在同一条直线上时，求证：CM=EM；

(3)如图2，当A、B、D在同一条直线上时，请探究CM，EM的数量关系和位置关系，请先给出结论，然后证明。