一道高中立体几何求立方体的体积

金字塔有一个正方形的基底，边长为1，侧面为等边三角形。一个立方体被放置在金字塔中，它的一个面在金字塔的底部，而它的另一个面的所有顶点都在金字塔的侧棱上。这个正立方体的体积是多少?

解法1：首先要把立体问题转化成平面问题，如图，如果从四面体的顶点做一个平行与底边并垂直底面的垂面，那么剖面是：

利用勾股定理可以求出高是h, h的平方=3/4-1/4=1/2，故h=1/√2,

利用三角形的相似性

x/1=(h-x)/h, 求出，

x=h/(1 h), 将h带入，

x=√2-1

因此所求的体积是：

解法2：另一种转化成平面的解法是，从顶点和正方体上表面的对角线上的两点做剖面，如图，可以很容易证明该三角形是直角三角形，这是由三个边长决定的。

底边列出等式：

由此得出体积：