，其中a为任一不被p整除的整数。该定理即可使用这些概念证得。这意味着

。

吾乡－朱加猜想表示，上述公式亦是p为素数的必要条件。另一个费马小定理的推论如下：若p为2与5之外的其他素数，1/p总是个循环小数，其周期为p − 1或p − 1的约数。分数1/p依q（10以外的整数）为基底表示亦有类似的效果，只要p不是q的素因数的话。威尔逊定理表示，整数p > 1为素数，当且仅当阶乘 (p − 1)! 1可被p整除。此外，整数n > 4为合数，当且仅当 (n − 1)!可被n整除。

其他素数

许多数学领域里会大量使用到素数。举有限群的理论为例，西罗定理即是一例。该定理表示，若G是个有限群，且pn为素数p可整除G的阶的最大幂次，则G会有个pn阶的子群。此外，任意素数阶的群均为循环群（拉格朗日定理）。

金钥加密

几个公开金钥加密算法，如RSA与迪菲－赫尔曼金钥交换，都是以大素数为其基础（如512位元的素数常被用于RSA里，而1024位元的素数则一般被迪菲-赫尔曼金钥交换所采用）。RSA依靠计算出两个（大）素数的相乘会比找出相乘后的数的两个素因数容易出许多这个假设。迪菲－赫尔曼金钥交换依靠存在模幂次的有效算法，但相反运算的离散对数仍被认为是个困难的问题此一事实。

自然素数

周期蝉属里的蝉在其演化策略上使用到素数。蝉会在地底下以幼虫的形态度过其一生中的大部分时间。周期蝉只会在7年、13年或17年后化蛹，然后从洞穴里出现、飞行、交配、产卵，并在至多数周后死亡。此一演化策略的原因据信是因为若出现的周期为素数年，掠食者就很难演化成以周期蝉为主食的动物。若周期蝉出现的周期为非素数年，如12年，则每2年、3年、4年、6年或12年出现一次的掠食者就一定遇得到周期蝉。经过200年以后，假设14年与15年出现一次的周期蝉，其掠食者的平均数量，会比13年与17年出现一次的周期蝉，高出2%。虽然相差不大，此一优势似乎已足够驱动天择，选择具素数年生命周期的这些昆虫。

据猜测，ζ函数的根与复数量子系统的能阶有关。