你可以花费九牛二虎之力，再运用大量方程式计算来证明，随着图形边的数量增加，该图形周长将无线接近π（圆的周长），或者你可以直接画一幅画说“看……这是真的”。

先用虚线画一个圆，其有内接和外切n角（蓝色）和2n角（红色）的正多边形。正多边形每段的长度是总周长除以段数（因此，所有段均除以n）。

如果将六个等边三角形粘在一起，则会得到一个正六边形，并带有一点三角，您会发现，如果您的圆的直径为1，则内接正六边形的周长为I6 = 3，而外切正六边形的周长为C6 =2√3≈3.46 。

要算出正十二边形的周长，就将C6和I6插入迭代方程式：

而这个周长都比迭代前的任何一个结果都更加接近于π，并且由于所有n的I_n <\ pi <C_n，因此我们可以找到π的范围越来越小。以下是其运算原理：

在圆上画内接或外切的正多边形会形成某种对称性。因此我们可以通过绘制一些三角形来快速地找出它们的各个角度。

也就是算出内接正多边形的一条边或者外切正多边形的一角。内接正多边形里面的边长可以由2n角地正多边形推导出。红色阴影三角形都相似（因为它们都有相同的角度），蓝色三角形也都相似。

一个完整的圆为360°，因此正多变边形的每一边都跨度为360° / n度。那么∠a就是这些角度的一半，因此∠a = 180 °/ n。

因为三角形中内角之和为180°，所以两∠b之和与∠a互补（二∠b之和为90°），第三个角度为90°（以直径为斜边的圆内切三角形对角为90°）。因此，∠b = 90°-180 °/ n。

∠c和∠b互补，因此∠c =∠ a = 180° / n。

∠c ∠d = 180°，因此∠d = 180°-∠c = 180°-180° / n。

三角形中的角度之和为180°，因此∠d ∠e ∠ e = 180°，∠e = 90°-∠d / 2 = 90 °/ n。

最后，∠b ∠e ∠ f = 90°，所以∠f = 90°-∠b-∠e = 90° / n。

由于∠f = ∠e，所以两个红色三角形角度相等：它们是“相似的三角形”。类似地，由于∠c = ∠a，所以两个蓝色三角形角度相等并且也相似。当两个三角形相似时，其边的比例相同。

关于边长计算如下。

利用蓝色三角形的相似点，我们可以推导出：

当然，红色三角形计算过程如下：