数学究竟是什么呢？我并不试图为这些问题提供一个确定的答案，对数学的理解也是数学史的一部分。但下面我先引入一个流俗的定义，我们可以从这个定义蕴含的疑点出发去追溯。

现代汉语词典说，数学是“研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。”这句话有许多问题可以追究：

首先，几何学研究的空间形式真的是属于“现实世界”的吗？数学对象与现实世界究竟是什么关系？

其次，“数量关系”指的是什么？数和量是一回事吗？数量是一种关系吗？

再次，研究空间的学问与研究数量的学问为何被归在一起，几何与代数有何关系？是互补还是从属，谁从属于谁？

最后，数学是一门“科学”吗，这意味着什么，也许它是一门技艺而非科学？

以上几个问题都是历史性的，在数学史的不同阶段，不同人有不同的理解，而这些理解不仅影响着数学的发展，也影响着自然科学对数学的应用。

远古先民就有了计数和度量活动，当然最初这些活动都是具象的，人们用手指来数数，用手和脚来度量长度，如果说这类活动就是数学的话，那么数学最初就是这些身体技术。

到文字出现之后，数学活动才开始脱离身体，人们用书面的符号记录数字和量度，比较复杂的数学技巧被发展起来。古埃及和古巴比伦，包括古印度和古中国，都有很高的数学成就。

巴比伦人已经开始使用以60为底的分数，他们能够把精确到百万分之一（图11.2.1），他们能够求解相当于一元二次方程的算术问题，甚至可以求出三次方程甚至更高次方程的近似解。

古代文明的数学更多地是一种实用的技术，虽然在许多方面他们的努力已经远远超过实际的需求，但这也好比各种实用技术都会发展出某种游戏性的或艺术性的维度，但实用旨趣仍然是一个基调，这和希腊之后的数学有很大区别。比如巴比伦人会对演算结果进行“验证”，但并不在意逻辑演绎意义上的“证明”。另外，他们往往对精确解和近似解不作区分。

▲图11.2.1 巴比伦人对根号2的计算。图中斜边上标有60进制小数形式的数值：“1,24,51,10”，这是正方形斜边与边长的比值。另一个数值“42,25,35”则是当边长为30时斜边的长度。

希腊数学无疑受到巴比伦和埃及的影响，但走出了独特的道路。

传说中最早的自然哲学家泰勒斯就曾在埃及游学，把埃及人的“测地术”引入希腊，发展出了侧重推理论证的几何学，相传泰勒斯本人证明了几条数学定理，例如“若两个三角形的两个角和一条边对应相等，则两个三角形全等”。但这些传说都缺乏证据，毕竟早期的文献基本都已经散佚了。但这类传说反映了古希腊人的自我定位，希腊数学的确从一开始就显示出与众不同的倾向。

说起希腊数学的渊源，不得不提毕达哥拉斯（约前570 -495）。毕达哥拉斯的生平和思想也是迷雾重重，一方面因为文献的散佚，另一方面也是因为毕达哥拉斯本人是一个类似秘传宗教的社团的领袖，很多可能是这个社团集体的成就也被归于毕达哥拉斯的名下，比如著名的毕达哥拉斯定理（勾股定理）很可能就不是毕达哥拉斯本人完成的。所以我们谈论毕达哥拉斯，更多地是谈论毕达哥拉斯学派的贡献。

哲学和数学这两个词汇都要追溯到毕达哥拉斯，“哲学”的希腊文原意是“爱智慧”（传说毕达哥拉斯最早以“爱智者”自居），“数学”的原意是“可以学的东西”，这两个词放在一块就暗示出某种重要的事情。毕达哥拉斯学派追求的是智慧，而其教授传承的东西是数学，也就是说，数学在毕达哥拉斯那里不再只是一门实用的计算技术，而是一种真正的、崇高的知识了。