根据"平行四边形法则"，你马上得到，合成力就是 ( 3 i ) ( 1 3i ) = ( 4 4i )。

这就是虚数加法的物理意义。

虚数的作用：乘法

如果涉及到旋转角度的改变，处理起来更方便。

比如，一条船的航向是 3 4i 。

如果该船的航向，逆时针增加45度，请问新航向是多少？

45度的航向就是 1 i 。计算新航向，只要把这两个航向 3 4i 与 1 i 相乘就可以了（原因在下一节解释）：

( 3 4i ) * ( 1 i ) = ( -1 7i )

所以，该船的新航向是 -1 7i 。

如果航向逆时针增加90度，就更简单了。因为90度的航向就是 i ，所以新航向等于：

( 3 4i ) * i = ( -4 3i )

这就是虚数乘法的物理意义：改变旋转角度。

虚数乘法的数学证明

为什么一个复数改变旋转角度，只要做乘法就可以了？

下面就是它的数学证明，实际上很简单。

任何复数 a bi，都可以改写成旋转半径 r 与横轴夹角 θ 的形式。

假定现有两个复数 a bi 和 c di，可以将它们改写如下：

a bi = r1 * ( cosα isinα )

c di = r2 * ( cosβ isinβ )

这两个复数相乘，( a bi )( c di ) 就相当于

r1 * r2 * ( cosα isinα ) * ( cosβ isinβ )

展开后面的乘式，得到

cosα * cosβ - sinα * sinβ i( cosα * sinβ sinα * cosβ )

根据三角函数公式，上面的式子就等于

cos(α β) isin(α β)

所以，

( a bi )( c di ) ＝ r1 * r2 * ( cos(α β) isin(α β) )

这就证明了，两个复数相乘，就等于旋转半径相乘、旋转角度相加。

—end—

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