第一章：集合与常用逻辑用语

第一节：集合

1、集合：集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体，这些对象称为该集合的元素。表示方法：①集合A={a，b，c，d}其中a，b，c，d是集合A的元素，即用a∈A，b∈A ，c∈A ，d∈A表示，f不是集合A的元素，则f∉A。集合A是集合B的子集，则A⊆B。②集合A={x｜x＞a}。

常见的集合：

整数集Z：{……，-3，-2，-1，0，1，2，3，……}

自然数集N（Nature）：即非负整数，包括0：{0，1，2，3，……}

正整数集N*或N ：{1，2，3，……}

有理数集Q（有理数是两个数相比的结果（商）英文quotient）：即整数和分数的集合

无理数集：小数点后面是无线不循环的数的集合，如：3.1415926

实数集R（real number）：有理数和无理数的集合。

复数集C（complex number）：实数和虚数的集合。

质数：质数又叫素数。在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不不能整除其他自然数的数叫做质数。如：2，3，5，7，11。质数组成的集合为质数集。

合数：在大于1的自然数中，除了1和它本身以外能整除其他自然数的数叫做合数。如：4，6，8，9，12 。合数组成的集合为合数集。 * 1既不是质数也不是合数

2、子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集。记作A⊆B或B⊇A，用韦恩（Venn）图表示如下：

（注意：x是集合A中的元素，用x∈A；集合X是集合A的子集，用X⊆A表示。）

真子集：如果集合A是集合B的子集，并且集合B不是集合A的子集，那么集合A叫做集合B的真子集。如果A包含于B,且A不等于B,就说集合A是集合B的真子集。

记作A⫋B（或B⫌A），用Venn图表示如下：

空集：指不含任何元素的集合。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。空集不是无；它是内部没有元素的集合。可以将集合想象成一个装有元素的袋子，而空集的袋子是空的，但袋子本身确实是存在的。符号Ø

交集：设A，B是两个集合，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的交集，记作A∩B

并集：给定两个集合A，B，把他们所有的元素合并在一起组成的集合，叫做集合A与集合B的并集，记作A∪B，读作A并B。

补集：一般指绝对补集，设U是一个集合，A是U的一个子集，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做子集A在U中的绝对补集(简称补集)。记作写作∁UA，用Venn图表示如下：

非空集合子集的个数：假设非空集合A中含有n个元素，则有：

证明 ： 集合A={1，2，3，4，5，……n}

集合A中每个子集都有出现和不出现两种可能。

1 出现或不出现2种可能

2 出现或不出现2种可能

3 出现或不出现2种可能

……

n 出现或不出现2种可能

根据乘法原理：共有2*2*2*2……*2=2n种不同的排列

3、集合的运算：

集合交换律：A∩B=B∩A ，A∪B=B∪A

集合结合律：(A∩B)∩C=A∩(B∩C) ，(A∪B)∪C=A∪(B∪C)

集合分配对偶律 ：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

集合对偶律：（A∪B)^C=A^C∩B^C ，（A∩B)^C=A^C∪B^C （A并B的余集等于A的余集交B的余集）

集合吸收律 ：A∪(A∩B)=A ，A∩(A∪B)=A

集合求补律 ：A∪∁uA=U ，A∩∁uA=Φ

集合的摩根律：∁u(A∩B)= ∁uA∪∁uB ，∁u(A∪B)= ∁uA∩∁uB