角平分线定理及其证明

在三角形中有一个角平分线定理，说的是：在三角形ABC中， 角A的平分线是AD， D在变BC上， 将BC分成BD=m, CD=n, 那么有c/m=b/n, 或者写成c/b=m/n. 该定理的逆定理也是成立的。

如果将这个定理与斯图尔特定理结合起来，可以求出角的平分线的距离：

关于斯图尔特定理的证明，请参见头条的另一篇文章,。

现在我们证明三角形角平分线的定理。

在三角形ABD和ACD中利用正弦定理有：

因为AD是角BAC的角平分线， 所以有∠BAD=∠CAD，

这样分母中的sin(BAD)=sin(CAD),

此外∠BDA ∠CDA=180°

因此有：

Sin(BDA)=Sin(CDA)

也就是上述的等式分子也相等，

因此：

有关角的平分线长度公式，读者根据斯图尔特公式可以用mb=cn替换后，提取公因式并约掉m n, 即可以证明。

有关角平分线的逆定理的证明，可以用假定法证明，即D点不是角分线上的点，那么一定存在另一个点D’ 是角分线上的点， 然后根据比例关系的唯一性，由此证明D与D’重合，由此证得逆定理成立。